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一元函数微分学（第2、3章） 一、导数 导数及左、右导数的概念 实质：增量比的极限（P.88第3题） 导数的几何意义（P.86） 设函数在点处可导，则曲线在点处的切线方程为 ， 对应的法线方程为． 特别地，如果，则切线方程，即切线平行于轴． 如果为无穷大，则切线方程，即切线垂直于轴． 可导与连续的关系 可导左、右导数都存在且相等 连续（反之不然，例如在处连续但不可导） 求导法则 (1) 基本初等函数的求导公式 (2) 四则运算的求导法则（P.89定理1） (3) 反函数的求导法则（P.92定理2） (4) 复合函数的求导法则（P.93定理3） (5) 隐函数求导法 (6) 对数求导法 步骤：①取绝对值；②取对数；③求导． 适用范围：多个函数的乘积、根式函数、幂指函数 (7) 由参数方程所确定函数的求导法则 ① 设参数方程为，则，且 ② 极坐标表示的曲线的切线（P.110） ③ 切线与切点和极点连线间的夹角（P.110-111例11） (8) 高阶导数 ，其中． 莱布尼茨公式 P.102公式(3.9) (9) 幂指函数求导的两种方法 ① 利用及复合函数求导的链式法则求解． ② 对数求导法 注意：上述方法在时才适用． 二、微分 微分的概念 实质：把近似地表示成的线性函数，即（线性主部）． 微分的几何意义（P.119） 导数与微分的关系 可导可微，且（P.116定理1）． 微分的形式不变性 应用：在微分公式中可以作任意的变量代换． 注意：形式不变性在求导公式中不成立． 微分在近似计算中的作用 (1) (2) （化曲为直，以直代曲） 中值定理 名称 条件 结论 罗尔定理 ①在上连续， ②在内可导， ③， 至少存在，使得 ． 拉格朗日 中值定理 ①在上连续， ②在内可导， 至少存在，使得 ． 柯西中值定理 ①、在上连续， ②、在内可导， ③，， 至少存在，使得 ． 泰勒中值定理 设函数在含有的某个开区间内具有直到阶连续导数， 当时，有 几个中值定理之间的关系 几个公式 拉格朗日中值公式 P.132公式(1.1)及(1.2) 有限增量公式 P.133公式(1.3) 阶泰勒公式 P.144公式(3.6)及(3.10) 阶麦克劳林公式 P.145公式(3.11)及(3.12) （麦克劳林公式是泰勒公式的特殊情形） 常用初等函数的麦克劳林公式 P.147-148 拉格朗日中值定理的两个推论 P.134 两种余项 P.144-145 拉格朗日型余项 （介于和之间） （） 皮亚诺型余项 未定式极限与洛必达法则 函数的性态与导数的应用 函数的单调性与曲线的凹凸性 函数的极值与最值 ① 判断函数极值的理论依据 P.156定理3（必要非充分条件） P.156定理4（充分非必要条件，适用范围：驻点、不可导点） P.158定理5（充分非必要条件，适用范围：且） 说明：不同单调区间的分界点一定是极值点，但反之不然． ② 可能的极值点：驻点、不可导点 ③ 可能的最值点：驻点、不可导点、区间端点 ④ 函数极值与函数最值的关系 极值点一定是最值点．（错误） 最值点一定是极值点．（错误） 极小值一定小于极大值．（错误） 最值在区间内取得，则最值一定是极值．（正确） 渐近线 弧微分 设表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则 （微分三角形） 曲率 设表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则 直线的曲率处处等于零． 半径为的圆的曲率等于． 曲率圆 设表示过曲线上一点的切线的倾斜角，则 曲率半径 曲率中心 P.179公式(7.8) 曲率圆的特点：有公切线、凹向一致、曲率相同． 3 P.96 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒中值定理