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专题2 第4讲 导数及其应用 一、选择题 1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝(　　) A．－1 B．－2 C．2 D．0 [答案]　B [解析]　f ′(x)＝4ax3＋2bx，∵f ′(1)＝4a＋2b＝2， ∴f ′(－1)＝－4a－2b＝－(4a＋2b)＝－2 要善于观察，故选B. 2．(2011·江西文，4)曲线y＝ex在点A(0,1)处得切线斜率为(　　) A．1 B. 2 C．e D. [答案]　A [解析]　y′＝(ex)′＝ex，所以k＝e0＝1. 3．(2011·重庆文，3)曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为(　　) A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x [答案]　A [解析]　y′＝－3x2＋6x在(1,2)处的切线的斜率k＝－3＋6＝3， ∴切线方程为y－2＝3(x－1)．即y＝3x－1. 4．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为(　　) A．13万件 B．11万件 C．9万件 D．7万件 [答案]　C [解析]　本题考查了导数的应用及求导运算，∵x0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，令y′＝0得x＝9，x∈(0,9)时，y′0，x∈(0，＋∞)时，y′0，y先增后减，∴x＝9时函数取最大值，选C，属导数法求最值问题． 5．(文)(2011·湖南文，7)曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　) A．－ B. C．－ D. [答案]　B [解析]　∵y′＝ ＝，∴y′|x＝＝. (理)(2011·湖南理，6)由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　) A. B．1 C. D. [答案]　D [解析]　S＝∫－cosxdx＝sinx ＝sin－sin＝. 6．(2011·山东淄博)若函数y＝f(x)在R上可导，且满足不等式xf ′(x)－f(x)恒成立，且常数a，b满足ab，则下列不等式一定成立的是(　　) A．af(a)bf(b) B．af(a)bf(b) C．af(b)bf(a) D．af(b)bf(a) [答案]　A [解析]　令F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝xf ′(x)＋f(x)， 由xf ′(x)－f(x)， 得：xf ′(x)＋f(x)0，即F′(x)0， 所以F(x)在R上为递增函数． 因为ab，所以af(a)bf(b)．故选A. 7．(2011·江苏盐城)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围是(　　) A．0≤a1 B．－1a1 C．0a D．0a1 [答案]　D [解析]　f ′(x)＝3x2－3a， 由于f(x)在(0,1)内有最小值，故a0， 令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－. 则∈(0,1)，∴0a1，故选D. 8．(文)(2011·浙江文，10)设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是(　　) [答案]　D [解析]　由F(x)＝f(x)·ex得， F′(x)＝f′(x)ex＋f(x)·(ex)′ ＝ex[ax2＋(2a＋b)x＋b＋c] ∵x＝－1是F(x)的极值点，∴F′(－1)＝0，得c＝a. ∴f(x)＝ax2＋bx＋a∴f′(x)＝2ax＋b ∴f′(－1)＝－2a＋b，f(－1)＝2a－b 由f′(－1)＝0，则b＝2a，f(－1)＝0，b＝2a，故A，B选项可能成立； 由f′(－1)0，∴－2a＋b0，∴f(－1)0，故C选项也成立； 所以，答案选D. (理)(2011·湖北理，10)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M(60)＝(　　) A．5太贝克 B．75ln2太贝克 C．150ln2太贝克 D．150太贝克 [答案]　D [解析]　M′(t)＝－ln2·2－， ∴M′(30)＝－ln2＝－10ln2，∴M0＝600， ∴M(t)＝600·2－，∴M(60)＝600·2－2＝150. 二、填空题 9．直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x0)的一条切线，则实数b＝________. [答案]　ln2