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主备人：李丹 审核人：吴哲 使用时间： 课题：10-10 离散型随机变量的分布列(三) 例1．（2012年高考（江苏））设为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条,当两条棱相交时,;当两条棱平行时,的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,. (1)求概率;(2)求的分布列,并求其数学期望. 例2．（2012年高考（湖南理））某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顾客数(人) 30 25 10 结算时间(分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%. (Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过2 钟的概率.(注:将频率视为概率) 例3．某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有四个问题，规则如下： ① 每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分； ② 每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局； ③ 每位参加者按问题顺序作答，直至答题结束. 假设甲同学对问题回答正确的概率依次为，且各题回答正确与否相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；（Ⅱ）用表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求的分布列和数学的. 例4．（福建理）受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计书数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现故障时间年 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元) 1 2 3 将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为,生产一辆乙品牌轿车的利润为,分别求的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由. 例5．袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为，现甲、乙两人从袋中轮流取球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次取一个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止，用X表示取球终止时取球的总次数。 （1） 求袋中原有白球的个数。 （2） 求随机变量X的分布列及数学期望E(X). 例6．某产品有4件正品和2件次品混在了一起，现要把这2件次品找出来，为此每次随机抽取1件进行测试，测试后不放回，直至次品能全部被找出为止。 （1）求“第1次和第2次都抽到次品”的概率； （2）所要测试的次数X为随机变量，求X的分布列和数学期望。 例7．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛 。该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签的方式决定出场顺序。通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛。 （1）求决赛中甲乙两只队伍恰好排在前两位的概率； （2）若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X，求它的分布列和数学期望。 例8．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6. (1)若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率； (2)若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有两次抽到6号球的概率； (3)若一次从袋中抽取3个球，记球的最大编号为X，求随机变量X的分布列。