1利用对角线法则计算下列阶行列式.docVIP

第一章 行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： （1）； （2）; （3）； （4）. 解 （1） == （2） （3） （4） 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … 2 4 … ； （6）1 3 … … 2. 解（1）逆序数为0 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2 （3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为： 3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… … 2， 4， 6，…， 个 （6）逆序数为 3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… … 2， 4， 6，…， 个 4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … 2， 4， 6，…， 个 3.写出四阶行列式中含有因子的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为，其中为的逆序数． 由于已固定，只能形如□□，即1324或1342.对应的分别为 或 和为所求. 4.计算下列各行列式： （1）； （2）； （3）； （4） 解 (1)== =0 (2) =0 (3)=== (4)= == 5.证明: (1)=; (2)=; (3); (4); (5). 证明 (1) (2) (3) (4) = = = = = (5) 用数学归纳法证明 假设对于阶行列式命题成立，即 所以，对于阶行列式命题成立. 6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依副对角线翻转，依次得 ， ，， 证明. 证明　 同理可证 7.计算下列各行列式（）： (1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0； (2); (3) ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) ; (5); (6),. 解 (1) () (2)将第一行乘分别加到其余各行，得 再将各列都加到第一列上，得 (3) 从第行开始，第行经过次相邻对换，换到第1行，第行经次对换换到第2行…， 经次行交换，得 此行列式为范德蒙德行列式 (4) 由此得递推公式： 即 而 得 (5) = (6) 8.用克莱姆法则解下列方程组： 解　(1) ; (2) () ． 9.有非零解？ 解 ， 齐次线性方程组有非零解，则 即 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解. 10. 有非零解？ 解 齐次线性方程组有非零解，则 得 不难