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第十二章 微分方程 内容概要 名称 主要内容 基本概念 微分方程，方程的阶，方程的解；通解；特解，初始条件 常见微分方程及其解法 一阶微分方程 可分离变量型 齐次微分方程 可化为齐次的微分方程 一阶线性微分方程 贝努利方程 全微分方程 高阶微分方程 可降阶的高阶方程 高阶线性 微分方程 方程解的结构理论 齐次线性微分方程解法 非齐次线性微分方程解法 欧拉方程 其他 刘维尔公式，常数变异法，微分方程组求解，微分方程的应用 §12.1微分方程的基本概念 内容概要 名称 定义 微分方程 表示未知函数，未知函数的导数或微分与自变量的关系的方程。未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程。 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数。阶微分方程形如，其中可以不出现，必须出现。 微分方程的解 代入微分方程使微分方程成为恒等式的函数。确切的说，设函数在区间上有阶连续导数，如果在区间上，，则称 函数是微分方程的解。 通解 阶微分方程的含有个相互独立的任意常数的解。 特解 不含任意常数的方程的解为特解。 初始条件 确定微分方程通解中任意常数的条件。 所有解 通解以及不能包含在通解中的解。 积分曲线 微分方程解的图形。 课后习题全解 1． 指出下列微分方程的阶数： 知识点：微分方程阶的定义 ★（1）； 解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。 注：通常会有同学误解成未知函数的幂或的导数的幂。 例：（错解）方程的阶数为2。() ★（2）； 解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为2，∴ 方程的阶数为2。 ★（3）； 解：出现的未知函数的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。 ★（4）。 思路：先化成形如 的形式，可根据题意选或作为因变量。 解：化简得 ，出现的未知函数的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。 2? 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 知识点：微分方程的解的定义 。 思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。 ★（1）， ； 解：将， 代入原方程得 左边右边， 所以是所给微分方程的解。 ★（2）； 解： ， 将， ， 代入原方程得 ： 左边右边， 所以是所给微分方程的解。 ★ （3）； 解：将， ， ， 代入原方程得： 左边=右边? 所以是所给微分方程的解。 ★（4）? ； 解：将，，， 代入原方程得： 左边 右边 ， 所以是所给微分方程的解。 ★★ 3. 验证由方程所确定的函数为微分方程 的解； 解： 将的两边对求导得： ，即。 再次求导得： 。 注意到由 ，可得 ， 所以 ， 从而 ， 即由所确定的函数是所给微分方程的解。 注：在验证等式的过程要依据题目采用灵活方法,不必将函数及各项导数依次代入验证。 ★ 4. （是任意常数）是方程的通解，求满足初始条件的特解。 解：将初始条件，代入通解得 ，从而， 所以所求特解为。 ★5. （为任意常数）是方程的通解，求满足初始条件的特解。 解：将，代入通解得 ， 所以 ， 将，代入上式得 ，所以 ， 所以所求特解为 。 ★★6.设函数是方程的通解，求。 解： 由题意得 ，即 ， 代入所给微分方程得 =， 即 ， 积分得 ：= (为任意常数)即为所求。 ★★7 曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分，试写出该曲线满足的微分方程。 解：设曲线为，则曲线上点处的法线斜率为， 由题目条件知中点的横坐标为，所以点的坐标为， 从而有 ， 即 为该曲线满足的微分方程。 ★★★8.求连续函数使它满足。 思路：利用变上下限积分的求导公式逐次消去积分符号，并逐步根据积分相应的值定出微分方程的初始条件。 解：令，则 ，且有，， 原方程化简为， 即， 两边关于求导得， 化简得， 两边积分得 即为所求函数。 §12.2 可分离变量的微分方程 内容概要 名称 标准形式 解法或通解公式 可分离变量型 形如 解法:设，整理为 ，两边积分得 方程通解为 （通常为隐函数形式）； 若得也为原方程的解。 齐次微分方程 形如 解法：令， 即，则，代入原方程得， 分离变量得， 两端积分， 求出积分后, 再用代替, 便得所给齐次方程的通解。 可化为齐次的微分方程 形如 解法：联立 ， 1.方程组有解， 求得交点，作平移变换， 即 ，则有，原方程就化为齐次方程 求得通解再回代即得原方程通解； 2.方程组无解，做变量代换，则，原方程化为可分离变量方程，求得通解再回代即可。 课后习题全解 2． 指出下列微分方程的通解： 知识点：可分离变量微分方程的解法。 ★ （1） ； 解： 分离变量得 ， 两边积分得 ， 求解得 ，