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第12章 常微分方程 函数是反映客观事物内部变量之间联系的重要概念，如何寻求函数关系在理论上及实践上都具有重要意义．在实际问题中往往不容易找出所需求的函数关系，而只能获得所需的函数与其导数（或微分）之间的关系式，这就是所谓的微分方程．本章主要介绍微分方程的一些基本概念和几种常用的微分方程的解法． §1 微分方程的基本概念 一、微分方程的概念 下面通过两个具体例题来说明微分方程的基本概念． 例1 一曲线通过点，且在该曲线上任一点处的切线斜率为，求此曲线的方程． 解 设所求曲线的方程为，根据导数的几何意义可得 ． （1） 两边积分得 ． （2） 又因为曲线通过点，因此未知函数还应满足条件： 时，． 　　　 （3） 将条件代入式可得 ， 解得，所求曲线方程为 ． 　　　　　 （4） 例2 列车在平直线路上以速度行驶，当制动时列车获得加速度，问开始制动后多长时间列车才能停住，列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解 设列车在开始制动后秒时行驶了米．根据题意，列车在制动阶段的运动规律函数应满足关系式 （5） 把（5）式两端积分一次可得 ， 　　　　　　 （6） 再积分一次可得 ， 　　　　　　　 （7） 其中，都是任意常数． 由已知条件满足下列条件 时，，．　　　　　　　　　　　　（8） 把条件（8）代入（6），（7）式可得 ，． 再把，的值代入（6），（7）式可得 ，． 列车停止行驶时，，由此可得列车从开始制动到完全停住所需的时间 ， 从而可得列车制动阶段行驶的路程为 ． 　　上述两个例子中（1）式和（5）式都是含有未知函数导数的方程． 定义1 含有自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程称为微分方程．当未知函数是一元函数时称为常微分方程，未知函数是多元函数时称为偏微分方程． 例如，，，，， 都是微分方程，前四个是常微分方程，最后一个是偏微分方程． 本章只讨论常微分方程，故以后所说的微分方程（简称为方程）均是指常微分方程． 定义2 微分方程中出现未知函数的导数（或微分）的最高阶数称为微分方程的阶． 例如，，都是一阶微分方程，是二阶微分方程，是五阶微分方程． 阶数大于1的微分方程称为高阶微分方程，阶微分方程的一般形式为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9） 这里是个变量的函数，其中一定要出现． 定义3 如果阶微分方程可表为如下形式 ，　　　　　　　　　（10) 其中为已知函数，则称之为阶线性微分方程（简称为线性方程）． 例如，都是线性方程． 不是线性方程的微分方程称为非线性微分方程（简称为非线性方程）． 例如，都是非线性方程． 二、微分方程的解 定义4 设函数在区间上有直到阶的导数，如果把及其各阶导数代入微分方程式(9）后，能得到区间上的一个恒等式 ， 则称是微分方程式(9）在区间上的一个解．如果由隐式方程所确定的函数是方程式(9）的解，则称为方程式(9）的隐式解．为了简单起见，以后我们不把解和隐式解加以区别，统称为方程的解． 由定义4可以可以直接验证： 函数是方程在区间上的解，其中是任意常数． 函数是方程在区间上的解，其中 和是任意常数． 定义5 如果阶微分方程式(9）的解中含有个独立的任意常数 ，，，，即，则称它为方程的通解，通解的隐式表达式称为通积分．如果方程的解中不包含任意常数，则称它为方程的特解，而由隐式表示的特解称为特积分． 　　注是微分方程(9）的通解，并不表示包含了该微分方程的所有解． 三、初值问题 　由于微分方程的通解中含有任意常数，所以它实际上表示的是一族解．要完全确定地反映客观事物运动的规律性，必须确定这些常数的值．因此要根据问题的实际情况，提出确定这些常数的条件，也就是对微分方程的解附加一定的条件，通常称之为定解条件．常见的定解条件为初值条件（或初始条件），求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题． 　　确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解． 一阶微分方程的初值问题记作