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2.3离散型随机变量的均值 教学目标： 了解加权平均的意义，学会根据离散型随机变量的分布列计算均值； 理解离散型随机变量的均值含义； 熟练掌握两点分布和二项分布中随机变量的均值计算。 难点： 了解随机变量均值的含义； 二项分布随机变量均值公式的推导。 教学导图： 教学设计： 一：引入 问题1：如果你期中考试各门成绩为：90、80、77、68、85、91；那你的平均成绩是多少？ 学生答：（90+80+77+68+85+91）÷6=81.8 教师：得数是各门学科的平均数，各门学科的成绩在平均数中所占的比重均等，所以也可以 看成： 问题2：你的期中数学考试成绩为70，平时表现成绩为60，学校规定：在你学分记录表中，该学期的数学成绩中考试成绩占70%、平时成绩占30%，你最终的数学成绩为多少？ 学生答：70×70%+60×30%=67 教师：67这个得数也是一种平均数，只是在计算平均数时，我们根据每个数据所占的比重不同在它的前面所乘的系数也不同，这样得到的平均数我们叫做加权平均数。 即： 教师：权：称棰，权衡轻重的数值； 加权平均：计算若干数量的平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权数。 练习：某商场要将单价分别为18元/kg、24元/kg、36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？ 学生答： 二：新课 问题３你能解释该问题中每个权数所代表的实际含义吗？ 讨论：表示各种糖果在混和时所占的比例； 教师：如果我们把混合糖果搅拌充分均匀，那么我们从中任取1kg的糖果，其中各种糖果所占的比例应该约为各个权数；如果我们任取一个糖果，这时各个权数对于这个样本糖果而言含义是什么？ 学生答：它是各个价位糖果的可能性。 教师：也就是说这个糖果是18元/kg的概率为，为24元/kg的概率为，为36元/kg的概率为，那我们这时就可以换个角度：设混合糖果中各糖果的单价为随机变量X，那么Ｘ的取值可能是：18、24、36；取到各个值的概率分别为：、、；相当于知道了该离散型随机变量X的分布列： X 18 24 36 P 那么我们所得到的合理价格应该就是X取值的一个加权平均数。 即：合理价格=18×+24×+36×=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36) 问题４：如果你知道了一个离散型随机变量的分布列： X X1 X2 x3 P P1 P2 P3 该随机变量的平均取值应该怎样计算？ 学生答：x1p1+x2p2+…+xn pn 教师：我们称上式计算所得的加权平均数叫做离散型随机变量X的均值或者数学期望，记为：EX= x1p1+x2p2+…+xn pn 它反映了Ｘ取值的平均水平。 注意：该平均数与以往的平均数有哪里不同？它是加权平均。根据什么来确定权数？所取值的概率。 三：例题 例１：在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？ 解：根据已知我们可以得到该随机变量Ｘ的分布列： X 0 1 p 0.3 0.7 因此EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7 分析：该随机变量X服从两点分布，对于任意一个满足两点分布的随机变量X来说，它的均值计算如下： X 1 0 p p 1-p EX=p 例2：某射手射击所得环数ξ的分布列如下： ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 求n次射击的平均环数。 解：Eξ=4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22=8.12 答：n次射击的平均环数为8.12。 变更：如果这次射击的环数与奖金挂钩，奖金变量η与射击环数ξ的关系如下：η=2ξ+1 则问：奖金变量η的均值为多少？ 解法1：由ξ的分布列和η和ξ的关系，可以将η的分布列写出： ξ 4 5 6 7 8 9 10 η 9 11 13 15 17 19 21 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 所以Eη=17.24 分析：能不能根据Eξ直接求Ｅη？ （推导公式略） 因此：已知两个离散型随机变量X、Y，Y=aX+b，则：EY=aEX+b 解法2：因为η=2ξ+1，所以Eη=2Eξ+1=2×8.12+1=17.24 变更：如果我们只关心他是否打中10环，因此设5次射击中打中10环的次数为变量X，则如何求X的均值？ 解法1：每次射击时打中10环的概率均等为0.22，因此X的分布列如下： X 0 1 2 3 4 5 P EX=…… 分析：结算量很大，该随机变量X满足什么分布？二项分布。二项分布是我们很熟悉、很常见的分布，如果每次碰到这