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第四节 复合函数微分法 分布图示 ★ 链式法则(1) ★ 链式法则(2) ★ 链式法则(3) ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 全微分形式的不变性 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 例14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9—4 ★ 返回 内容要点 一、复合函数的中间变量为一元函数的情形 二、复合函数的中间变量为多元函数的情形 三、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形 , 四、全微分形式的不变性 例题选讲 例1（E01）设而 求导数 解 例2（E02）设而 求和 解 例3 求 的偏导数. 解 设则 可得 则 例4 设 , . 求 和 解 例5（E03） 设 求 解 例6设函数具有二阶连续偏导数，试求常数a，使得变换 可把方程 化简为 解 把视为关于的复合函数,则有 当具有二阶连续偏导数时,有 把上述结果代入方程 (1) 中, 整理得 按题意知, 常数应满足 例7 设, 其中有连续的二阶偏导数, 求 解 设则 例8（E04）设 其中函数f有二阶连续偏导数，求和. 解 令记 同理记 例9（E05）设函数可微，在极坐标变换 下，证明 证 为方便起见,我们从欲证等式的右端出发来证明.把函数视为的复合函数,即 则 所以 例10 设 的所有二阶偏导数连续, 把下列表达式转换为极坐标系中的形式: (1) ; (2) 解 由直角坐标与极坐标间的关系式可把函数换成极坐表及的函数: 故可用复合函数求导法则求出偏导数: 、、、 这里要看作由及复合而成.下面分别计算之. (1) (2) (1) 由直角坐标与极坐标间的关系式 应用复合函数求导法则得 两式平方后相加,得 (2) 利用(1)的结果,再求二阶偏导数,得 同理可得 两式相加,得 全微分形式的不变性 例11（E06） 利用全微分形式不变性解本节的例2. 设 而 求 和. 解 因代入后归并含及的项,得 即 比较上式两边的、的系数,得 它们与例2的结果一样. 例12（E07）利用一阶全微分形式的不变性求函数 的偏导数. 解 所以 例13 求函数 的全微分. 解 设则 于是 由代入上式,得 [] 例14 已知 求和. 解 故所求偏导数 课堂练习 1.设 求 2.设其中F是可微函数, 证明 3.设 f具有二阶连续偏导数, 求