4数列的极限与数学归纳法.docVIP

专项热点训练14、数列的极限与数学归纳法 考纲解读：了解数列极限的意义，掌握极限的四则运算法则，会求公比的绝对值小于1的无穷等比数列前项和的极限。能用数学归纳法证明一些简单的问题。 高考预测：数列极限的运算常以选择题或填空题形式出现，也可能在解答题中最后一问中出现，特别是公比的绝对值小于1的无穷等比数列各项和公式的运用要重点注意。数学归纳法是种数学方法(不会单独命题)，但它与数列的探索性问题结合在一起常常作为高考的热点来考查，应引起充分重视。 课时测试(时间：60分钟，满分100分地) 一、 选择题(本题包括6个小题，每小题6分，共36分地) 1． 用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”时，若第一步只验证时成立，则第二步是 　　　　　　　　　　　　　（　） A． 假设时命题成立，推得时命题成立； B． 假设时命题成立，推得时命题成立； C． 假设时命题成立，推得时命题成立；11 D． 假设时命题成立，推得时命题成立。 2． 在等比数列中，，公比，前项和为，则的值为（　） A．0；B．；C．；D．1。 3． 已知是AB中点，是的中点，是的中点，…，是的中点，则的极限位置是　　　　　　　　　　　　　　　　　（　） A．；B．；C．；D．。 4． 已知各项均为正数的等比数列的首项，公比为，前项和为，，则公比的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　　（　） A．；B．；C．；D．。 5． 若无穷等比数列的前项和为，各项和为，且，则的公比为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　） A．；B．；C．；D．。 6． 数列中，，且，若存在，则＝ A．；B．；C．；D．。 二、 填空题（本小题包括3个小题，每小题6分，共18分） 7． ____； 8． 已知，则的值等于____;; 9． 有以下四个命题： ①； ②； ③凸边形的内角和为； ④凸边形的对角线的条数为。 其中满足“假设时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当是题中给定的的初始值）时命题成立”的命题序号是____。 三、 解答题（本题包括3个小题，共46分） 10． （本小题满分14分） 在公差不为零的等差数列和等比数列中，已知，且。 （1） 求公差和公比； （2） 是否存在实数，使得对于一切自然数都有成立，若存在，求出实数；若不存在，说明理由。 11． （本小题满分15分） 已知数列中。 （1） 写出的前4项，猜想的通项公式； （2） 用数学归纳法证明（1）的猜想； （3） 记的前项和为，数列中，　记的前项和为，求集合。 12． （本小题满分17分） 设数列满足。 （1） 当时，求，并由此猜想出的一个通项公式； （2） 当时，证明对所有的，有 ①； ②。 答案与选讲： 一、 选择题：1-6、CCCACA； 二、 填空题：7、；8、4；9、②③； 三、 解答题： 10、（1），（2）存在常数满足要求。 11、（1）猜想， （2）用数学归纳法证明（略）， （3）； 12、解：（1）由，得， 由，得，进而得， 猜想：， (2)①用数学归纳法证明： （i） 当时，，不等式成立； （ii） 假设时，不等式成立，即，那么， 即时，不等式也成立。 由（i）(ii)可知，对于所有都有成立。 ②由及①，对有 ∴。 于是， ∴。