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12-04 离散型随机变量的分布列 点一点——明确目标 理解随机变量的意义，能确定简单的离散型随机变量的概率分布. 做一做——热身适应 1.已知随机变量ξ的分布列为P（ξ=k）=，k=1，2，…，则P（2ξ≤4）等于 . 解析：P（2ξ≤4）=P（ξ=3）+P（ξ=4）=+=. 答案： 2.某批数量较大的商品的次品率为10%，从中任意地连续取出5件，其中次品数ξ的分布列为________. 解析：本题中商品数量较大，故从中任意抽取5件（不放回）可以看作是独立重复试验n=5，因而次品数ξ服从二项分布， 即ξ～B（5，0.1）. ξ的分布列如下： ξ 0 1 2 3 4 5 P 0.95 0.5×0.94 0.1×0.93 0.01×0.92 4.5×0.14 0.15 3.设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若P（ξ≥1）=，则P（η≥1）=______. 解析：P（ξ≥1）=1－P（ξ1）=1－Cp0·（1－p）2=， ∴p=，P（η≥1）=1－P（η=0）=1－C（）0（）4=1－=. 答案： 4.抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机试验结果是 A.一颗是3点，一颗是1点 B.两颗都是2点 C.两颗都是4点 D.一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 解析：对A、B中表示的随机试验的结果，随机变量均取值4，而D是 ξ=4代表的所有试验结果.掌握随机变量的取值与它刻画的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概念的关键. 答案：D 5.下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是 A. ξ －1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B. ξ 1 2 3 P 0.4 0.7 －0.1 C. ξ －1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 D. ξ 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 解析：A、D不满足分布列的基本性质②，B不满足分布列的基本性质①. 答案：C 理一理——疑难要点 1.随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量表示，那么这样的变量叫做随机变量，它常用希腊字母ξ、η等表示. （1）离散型随机变量.如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，那么这样的随机变量叫做离散型随机变量. （2）若ξ是随机变量，η=aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 （1）概率分布（分布列）.设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率P（ξ=xi）=pi，则称表 ξ x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … 为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列. （2）二项分布.如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P（ξ=k）=Cpkqn－k. 其中k=0，1，…，n，q=1－p，于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 1 … k … n P Cp0qn Cp1qn－1 … Cpkqn－k … Cpnq0 我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n，p），其中n、p为参数，并记Cpkqn－k=b（k；n，p）. 特别提示 二项分布是一种常用的离散型随机变量的分布. 拨一拨——思路方法 【例1】 在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，求： （1）不放回抽样时，抽到次品数ξ的分布列； （2）放回抽样时，抽到次品数η的分布列. 剖析：随机变量ξ可以取0，1，2，η也可以取0，1，2，3，放回抽样和不放回抽样对随机变量的取值和相应的概率都产生了变化，要具体问题具体分析. 解：（1）P（ξ=0）==，P（ξ=1）==， P（ξ=2）==， 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P （2）P（η=k）=C·0.83－k·0.2k（k=0，1，2，3），所以η的分布列为 η 0 1 2 3 P C0.83 C0.82·0.2 C0.8·0.22 C0.23 评述：放回抽样时，抽到的次品数为独立重复试验事件，即η～B（3，0.8）. 特别提示 求离散型随机变量分布列要注意两个问题：一是求出随机变量所有可能的值；二是求出取每一个值时的概率. 【例2】 一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，写出随机变量ξ的分布列. 剖析：因为在编号为1，2，3，4，5的球中，同时取3只，所以小号码可能是1或2或3，即ξ可以取1，2，3. 解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3. 当ξ=1时，即取出的三只球中最小号码为1，则其他两只球只能在编号为2，3，4，5的四只球中任取两只，故有P（ξ=1）===； 当ξ=2时，即取出的三只球中最小号码为2，则其他两只球只