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七、 常微分方程 容易题1-8 中等题9-36 难题37-40 1．微分方程的通解为 。 2．过点且满足关系式的曲线方程为 。 3．微分方程的通解为 。 4．设是线性微分方程的三个特解，且，则该微分方程的通解为 。 5．设是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相应齐次方程的一个解为，则该微分方程的通解为。 6．设出微分方程的一个特解形式 。 7．微分方程的通解为 。 8．微分方程的通解为 。 9．函数满足的二阶线性常系数齐次微分方程为。 10．若连续函数满足关系式 ，则。 11．设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则等于[ ] (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。 答B 注：根据题意，，解得。由，得，所以，即选项(B)正确。 12．若函数是微分方程的一个特解，则该方程满足初始条件的特解为[ ] (A) 。 (B) 。 (C) 。 (D) 。 答D 注：根据解的结构，通解为，由得。故选项(D)正确。 其他选项经验证不满足方程或定解条件。 13．设函数是微分方程的两个不同特解，则该方程的通解为[ ] (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。 答D 注：因为是微分方程的两个不同特解，所以是该方程的一个非零特解。根据解的结构，其通解为，即选项(D)正确。另：根据通解定义，选项(A)中有两个任意常数，故其不对。当时，选项(B)不对。当时，选项(C)不对。 14．已知函数在任意点处的增量，则等于[ ] (A)。 (B)。 (C)。 (D) 。 答D 注：根据微分定义及微分与导数的关系得，解得，由，得，所以。因此选项(D)正确。 15．设函数是微分方程的一个解。若，则函数在点[ ] (A) 取到极大值。 (B) 取到极小值。 (C) 某个邻域内单调增加。 (D) 某个邻域内单调减少。 答A 注：因为，，所以选项(A)正确。 16. 设是二阶常系数线性齐次方程的两个特解，是两个任意常数，则下列命题中正确的是[ ] （A） 一定是微分方程的通解。 （B）不可能是微分方程的通解。 （C）是微分方程的解。 （D）不是微分方程的解。 答C 注：根据叠加原理，选项（C）正确，选项（D）错误。当线性相关时，选项（A）错误, 当线性无关时，选项（B）错误。 17. 微分方程的一个特解应具有形式[ ] (A)。 (B)。 (C) 。 (D) 。 答B 注：相应齐次方程的特征根为，所以的一个特解形式为，的一个特解形式为。根据叠加原理，原方程的一个特解形式为，即选项(B)正确。其他选项经检验不满足方程。 18. 具有特解的三阶线性常系数齐次微分方程是[ ] (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。 答B 注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为。故所求微分方程为，即选项(B)正确。 19. 设是三阶线性常系数齐次微分方程的两个特解，则的值为[ ] (A)。 (B)。 (C)。 (D)。 答C 注：根据题意，是特征方程的两个根，且是重根，所以特征方程为。故原微分方程应为，所以即选项(C)正确。 20. 设二阶线性常系数齐次微分方程的每一个解都在区间上有界，则实数的取值范围是[ ] (A)。 (B)。 (C)。 (D)。 答A 注：因为当时，，所以，当时，要想使在区间上有界，只需要，即。当时，要想使在区间上有界，只需要与的实部大于等于零，即。当时，在区间上有界。当时，在区间上无界。综上所述，当且仅当时，方程的每一个解都在区间上有界，即选项(A)正确。 21．求微分方程的通解。 解：方程两端同乘以，得 ， 此方程是一个变量分离方程，其通解为 。 22．求微分方程的通解。 解：这是一个一阶线性微分方程，求解其相应的齐次方程 ， 得其通解为 ，即。 令，代入原方程，得 ， 解得 。 所以原方程的通解为 。 注：本题也可直接利用一阶线性非齐次微分方程的通解公式，得 。 23．求解微分方程。 解：将看成自变量，看成是的函数，则原方程是关于未知函数的一阶线性微分方程 ， 此方程通解为 ， 其中是任意常数。` 24．求微分方程满足初始条件的特解。 解：将原方程变形，得 ， 这是一个齐次型方程。令，代入