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管理数学I 习题二 用随机变量来描述掷一枚骰子的试验结果，并写出它的分布律。 解：令X为掷一枚骰子的试验结果，则X的取值为1，2，3，4，5，6。 并且X取其中任一值的概率都是1/6。其分布律如下： X 1 2 3 4 5 6 p 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 某试验成功的概率为，X代表第二次成功之前试验失败的次数，写出X的分布律。 答:X的分布律为: X 0 1 2 3 … n … p p2 2*p2(1-p) 3*p2(1-p)2 4*p2(1-p) 3 … (n+1)p2(1-p)n … 3．下表能否为某个随机变量的分布律？为什么？ X 1 2 3 p 0.15 0.45 0.6 答:不能,因为0.15+0.45+0.6 = 1.2 1。 4．产品有一、二、三等品和废品四种，一、二、三等品率和废品率分别为55%、25%、19%、1%，任取一件产品检验其质量等级，用随机变量X表示检验结果，并写出其分布律和分布函数。 答： X的分布律为： X 1 2 3 4 p 0.55 0.25 0.19 0．1 分布函数为： 5．设某种试验成功的概率为0.7，现独立地进行10次这样的试验。问是否可以用一个服从二项分布的随机变量来描述这10次试验中成功的次数？如何描述？请写出它的分布以及分布的数学期望和标准差。 答: 本题中实验的结果只有两种,成功,不成功,符合Bernoulli实验的特征。令X为10次实验中成功的次数，显然X的取值范围就是0，1，2 …，10，而且X取k的概率为： 其中k为0-10间的自然数。显然可以用服从二项分布的随机变量来描述这10次实验中成功次数。具体分布就是 数学期望 E(X) = n*p = 10*0.7 = 7 标准差 6．如果你是一个投资咨询公司的雇员，你告诉你的客户，根据历史数据分析结果，企业A的平均投资回报比企业B的高，但是其标准差也比企业 B的大。你应该如何回答客户提出的如下问题： 是否意味着企业A的投资回报肯定会比企业B的高？为什么？ 是否意味着客户应该为企业A而不是企业B投资？为什么？ 答: (1) 平均投资回报反映的是长期的平均结果。就某一年或短期而言，并不能说A的投资回报一定比B高。 （2）不一定。实际上，选择的结果依赖于不同决策者对待风险的态度。 7．某公司估计在一定时间内完成某项任务的概率如下： 天数 1 2 3 4 5 概率 0.05 0.20 0.35 0.30 0.10 求该任务能在3天（包括3天）之内完成的概率； 答：3天之内完成的概率为 0.05+0.20+0.35 = 0.60。 求完成该任务的期望天数； 答：任务完成的期望天数 E = 1*.05 + 2*.20 + 3*.35 + 4*.30 + 5*.10 = 3.2 天。 该任务的费用由两部分组成——20,000元的固定费用加每天2,000元，求整个项目费用的期望值；费用=20000+2000*完成任务天数 答：费用期望值 E（费用）= 20000 + 2000*3.2 = 26400 (元)。 求完成天数的标准差。 解：方差D(X) = E(X2) – (E(X))2 = 12*0.05+22*0.2+32*0.35+42*0.3+52*0.1 – 10.24 = 1.06 则 标准差σ=1.03 8．求4中随机变量X的期望和方差，以及。 解: 期望 E(X) = 1*0.55 + 2*0.25 + 3*0.19 + 4*0.01 = 1.66 E(X2) = 12*0.55+22*0.25+32*0.19+42*0.01 = 0.55 + 1.0 + 1.71 + 0.16 = 3.42 方差 D(X) = E(X2)- (E(X))2 = 3.42 – 1.662 = 0.6644 9．设随机变量的概率密度函数为 求（1），（2）的数学期望。 解: (1) E(Y) = E(2X) = 2E(X) = 2dx = 2dx = (– 2x – 2)= 2 E(Y) = E() = == – = –= 一工厂生产的某种设备的寿命（以年计）服从指数分布，概率密度为 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望。 解: 设备寿命小于一年的概率 P() = = = 1 － 又因为设备寿命小于一年时厂方的收益为 100 - 300 = -200 元 而设备寿命大于一年时厂方的收益为 100 元 故出售一台设备净赢利的