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线性代数 本章要求了解线性代数的一些基础知识，了解矩阵的基本概念和简单运算，运用初等变换求矩阵的秩，会计算行列式的值，并能解一般的线性方程组．  1.1矩阵及其初等变换 教学要求 本节要求读者从线性方程组的求解导出矩阵、初等变换和秩的定义．要求掌握矩阵的基本概念，熟练运用初等变换将矩阵化成阶梯形，从而掌握求矩阵的秩的方法，并能求出一般线性方程组的解． 熟悉矩阵、初等变换和秩的定义． 熟练运用初等变换将矩阵化成阶梯形，掌握求矩阵的秩． 能求出一般线性方程组的解． 知识点 n元线性方程组 矩阵的定义和应用 初等变换和矩阵的秩 1.1.1 n元线性方程组 1.n元线性方程组 在自然科学与社会经济领域，常常碰到线性方程组的问题，它的解决方法构成了现代数学最基础也是结果最完整的一套理论: 线性代数．所谓线性，是指方程组中包含的变量(未知数)都是一次的． n元线性方程组的定义．我们将以下包含n个未知数x1,x2,…,xn和m个线性方程的方程组 称为一个n元线性方程组．若 则称方程组为齐次（线性）方程组．满足方程组的数组 称为方程组的一个（特）解．若方程组有不止一个解，则称所有解的共同的表达式为通解．若两个方程组有相同的非空解集合，则称两个方程组为同解方程组． 2．阶梯形方程组 对于一般的线性方程组, 我们很难直接断定是否有解，但有些特殊类型的方程组我们则很容易求出其解．例如以下的上三角形方程组： 其中．我们很容易从第个方程中解出，再将解出的 带入第个方程后就可解出，如此反复即可解出每一个． 阶梯形方程组的定义．上三角形方程组或将上三角形的方程组去掉若干个方程后所得到的方程组,我们之为阶梯形方程组．我们通过以下的具体例子来说明阶梯形的方程组是怎样求通解的． 我们发现该方程组是将五阶的上三角形方程组去掉第二和第四个方程后得到的，于是我们就令 和, 其中,为任意的实数，再将所有的任意常数都移到方程的右端，我们又得到了一个三阶的上三角形的方程组， 于是上面阶梯形方程组所有的解(带有两个任意常数,的通解)，就可通过上三角形的方程组的解法解出来了． 　 需要事先指出的是所有的线性方程组最终都可以化为同解的阶梯形方程组, 这个过程也可以用下面要定义的矩阵及其变换来实现. 1.1.2 矩阵的定义和应用 1．矩阵的定义 当我们处理大量数据的时候，就需要矩阵的概念了．所谓矩阵，就是一个数表，但是这个数表已除去了数据的来源和意义，只有一个由数字构成的矩形的方阵．比如，下图是一个单位人员构成的图表， 主任 副主任 工程师 工人 临时工 厂办 1 2 1 3 无 第一车间 1 1 5 52 2 第二车间 1 2 9 150 3 第三车间 1 1 4 19 无 当我们把表中的文字说明部分去掉，并把缺省的项目填成数字0，就得到了一个只有数字的数表 ，这种数表就称为矩阵． 矩阵的定义．我们将形如 的矩形数表, 称为一个mn阶矩阵，其中m与n分别是矩阵的行数与列数，阵列中第i行第j列() 处的称为矩阵的第i行第j列元素， 的第一个下标i是行的序号, 第二个下标j是列的序号．当m = n时，特别称为n阶方阵或n阶矩阵．当m = n = 1时，矩阵就是一个数，我们不再加括号表示了． 注意，在数学理论当中，一个矩阵中的mn个元素可以是数 (整数, 实数或复数)，也可以是其他研究对象 (例如函数、文字、甚至更小的矩阵等等)，本课程只讲元素是实数的矩阵． 假如我们抽出矩阵的第行来，构成一个1n阶矩阵 （注意元素间只须留出空隙，并不用逗号分开），称为的第i个行(向量)． 同理，的第j个列(向量)是m1阶矩阵这样，又可表示成 ． 我们一般用大写的英文字母表示矩阵等, 有时矩阵也可以简写成 ，表示矩阵A第i行第j列元素为，，． 两个mn阶矩阵与称为相等的，如果 (，)，此时记作．注意，行数或列数不等的矩阵决不能相等． 例1.1.1 ． 如果矩阵的mn个元素均为0，则称A为零矩阵，记作0mn，常简记作0，而不标明下标mn． 如果把mn阶矩阵的第i行改为第i列，第j列改为第j行，就可得到一个新的nm矩阵，记作，称为A的转置(矩阵)，具体表示如下： 若，则． 显然，n阶方阵的转置仍是n阶方阵，而且对任何矩阵A，有 2．系数矩阵和增广矩阵 矩阵理论的应用，最常见也是最重要的就是解线性方程组．假如我们有一个n元线性方程组 则我们将由方程组