D数学矩阵的更多知识(自动保存的).docVIP

? 3D数学 ---- 矩阵的更多知识（2） 收藏 矩阵的逆 另外一种重要的矩阵运算是矩阵的求逆，这个运算只能用于方阵。 ? 运算法则 方阵M的逆，记作M-1，也是一个矩阵。当M与M-1相乘时，结果是单位矩阵。表示为公式9.6的形式： 并非所有的矩阵都有逆。一个明显的例子是若矩阵的某一行或列上的元素都为0， 用任何矩阵乘以该矩阵，结果都是一个零矩阵。如果一个矩阵有逆矩阵，那么称它为可逆的或非奇异的。如果一个矩阵没有逆矩阵，则称它为不可逆的或奇异矩阵。 奇异矩阵的行列式为0，非奇异矩阵的行列式不为0，所以检测行列式的值是判断矩阵是否可逆的有效方法。此外，对于任意可逆矩阵M，当且仅当v=0时，vM=0。 M的”标准伴随矩阵“记作”adjM“，定义为M的代数余子式矩阵的转置矩阵。下面是一个例子，考虑前面给出的3x3阶矩阵M： 计算M的代数余子式矩阵： M的标准伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置： 一旦有了标准伴随矩阵，通过除以M的行列式，就能计算矩阵的逆。 其表示如公式9.7所示： 例如为了求得上面矩阵的逆，有： 当然还有其他方法可以用来计算矩阵的逆，比如高斯消元法。很多线性代数书都断 定该方法更适合在计算机上实现，因为它所使用的代数运算较少，这种说法其实是不正确的。对于大矩阵或某些特殊矩阵来说，这也许是对的。然而，对于低阶矩 阵，比如几何应用中常见的那些低阶矩阵，标准伴随矩阵可能更快一些。因为可以为标准伴随矩阵提供无分支（branchless）实现，这种实现方法在当今 的超标量体系结构和专用向量处理器上会更快一些。 矩阵的逆的重要性质： ? 几何解释 矩阵的逆在几何上非常有用，因为它使得我们可以计算变换的”反向“或”相反“变换 ---- 能”撤销“原变换的变换。所以，如果向量v用矩阵M来进行变换，接着用M的逆M-1进行变换，将会得到原向量。这很容易通过代数方法验证： 矩阵的行列式 在任意方阵中都存在一个标量，称作该方阵的行列式。 ? 线性运算法则 方阵M的行列式记作|M|或“det M”，非方阵矩阵的行列式是未定义的。n x n阶矩阵的行列式定义非常复杂，让我们先从2 x 2，3 x 3矩阵开始。 公式9.1给出了2 x 2阶矩阵行列式的定义： 注意，在书写行列式时，两边用竖线将数字块围起来，省略方括号。 下面的示意图能帮助记忆公式9.1，将主对角线和反对角线上的元素各自相乘，然后用主对角线元素的积减去反对角线元素的积。 3 x 3 阶矩阵的行列式定义如公式9.2所示： 可以用类似的示意图来帮助记忆。把矩阵M连写两遍，将主对角线上的元素和反对角线上的元素各自相乘，然后用各主对角线上元素积的和减去各反对角线上元素积的和。 如果将3 x 3阶矩阵的行解释为3个向量，那么矩阵的行列式等于这些向量的所谓“三元组积”。 假设矩阵M有r行c列，记法M{ij}表示从M中除去第i行和第j列后剩下的矩阵。显然，该矩阵有r-1行，c-1列，矩阵M{ij}称作M的余子式。 对方阵M，给定行、列元素的代数余子式等于相应余子式的有符号行列式，见公式9.3： 如上，用记法cij表示M的第i行，第j列元素的代数余子式。注意余子式是一个矩阵，而代数余子式是一个标量。代数余子式计算式中的项(–1)(i+j)有以棋盘形式使矩阵的代数余子式每隔一个为负的效果： n维方阵的行列式存在着多个相等的定义，我们可以用代数余子式来定义矩阵的行列式（这种定义是递归的，因为代数余子式本身的定义就用到了矩阵的行列式）。 首先，从矩阵中任意选择一行或一列，对该行或列中的每个元素，都乘以对应的代数余子式。这些乘积的和就是矩阵的行列式。例如，任意选择一行，如行i，行列式的计算过程如公式9.4所示： 下面举一个例子，重写3x3矩阵的行列式： 综上，可导出4x4矩阵的行列式： 高阶行列式计算的复杂性是呈指数递增的。幸运的是，有一种称作”主元选择“的计算方法，它不影响行列式的值，但它能使特定的行或列中除了一个元素（主元）外其他元素全为0，这样仅一个代数余子式需要计算。 行列式的一些重要性质： （1）矩阵积的行列式等于矩阵行列式的积：|AB| = |A||B|??????? 这可以扩展到多个矩阵：? |M1 M2 ... Mn| = |M1| |M2| ... |Mn-1| |Mn| （2）矩阵转置的行列式等于原矩阵的行列式：|MT| = |M| （3）如果矩阵的任意行或列全为0，那么它的行列式等于0. （4）交换矩阵的任意两行或两列，行列式变负。 （5）任意行或列的非零积加到另一行或列上不会改变行列式的积。 ? 几何解释 矩阵的行列式有着非常有趣的几何解释。2D中，行列式等于以基向量为两边的平行四边形的有符号面积（如图9.1所示）。有符号面积是指如果平行四边形相对于原来的方位”翻转“，那么面积变