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1 求证：在上不存在可导函数，使其满足。 证明 如果这样的存在，我们来求的不动点，即满足的，由假设，由此得，这表明有唯一的不动点。 令设，那么，因而，这说明也是的不动点，因而，即，在等式两边求导得，， 令，即得，，这是不可能的，命题得证。 2 求证：在上不存在可导函数，使其满足。 证明 如果这样的函数存在，我们来求的不动点，即满足的，由假设， ， 或， 这表明仅有两个不动点或， 今设，， 那么， 因而， 这说明也是的不动点，因而或，同理或， 若，，，这是不可能的， 若，，， ， 让，， 让，， 这也是不可能的，故这样的函数是不存在的。 4 设，定义函数，（假设对任何，上述极限均存在），若，，求证：，其中，为常数。 证明 令，只要证明， 定义， 直接验算可知 ， （1） 现在证明在中不能取最大值，如果它在某点取到最大，那么 因而，这与（1）矛盾，这说明的最大值只能在的两个断点处达到，而，故，， 令，，即得， 于是，结论得证。 例3.1.5 设函数在闭区间上连续，，且在开区间内有连续的右导数，，求证：存在一点，使得。 证明 若常数，则，问题自明。现设不恒等于常数， 为了证明存在，使得，只要证明存在，分别有，，那么的连续性，便知存在，使得。 事实上，找这样的，只要找最大、最小值点即可。 因，所以最大、最小值至少有一个在内部达到，设是的最大值点，（内部达最小值类似讨论）于是 ， 任取一点：，因在上连续，在上必有一点达到最小值，于是 ， 如此，我们即达到了目的，结论得证。 3.2.35 设在上连续，，又设对一切，存在，用表示这一极限值， 试证：存在 ，使得。 吉米多维奇 1286 若于某邻域内，函数增量的符号与自变量增量的符号相同，函数为在点增大。证明：若函数于无穷或有穷区间内的每一点增大，则它在此区间内是增函数。 证明 要证对任意两点，都有，对中每一点，由假定存在开区间，使当时，， 于是，诸区间（取遍）形成的一个开覆盖，由有限覆盖定理，从中可以选出有限个，设为，它们已经覆盖了， 不妨设，而且可设诸区间互不包含（因若，则可将舍去）。于是，必有（因若不属于，而属于某，，则显然有，此与互不包含相矛盾）。另外，易知与必有公共点（因若与没有公共点，则必属于某，，，若，则矛盾，若，则，也矛盾） 显然可取公共点，满足，于是，，同理可知，，于是，我们有 ， 证完。 设，，求极限。 解 利用， ， 由此便知，，再由Stolz定理立得 。 2009年中国科大数学分析考研试题 一 、1 、判断是否绝对收敛。 2 、设为有限区间，在上有定义，试证：在上一致收敛充要条件是把Cauchy序列映射为Cauchy序列，（即当为Cauchy序列时，亦为Cauchy序列）。 二、 .1、在展开的幂级数，问其收敛集是什么？ 2、求的根的个数。 3 、求的和。 三 设，单调递增，且是闭集，证明在上连续。 四 、设在上连续，且，，证明。 五 是否存在原函数，使得满足如下等式： 。 六 设，且对每一，是有限集，存在， 证明：存在。 七 设， 1 证明在中确定一张隐式的曲面，并求出一个在点附近的参数方程； 2 是否连通，是否紧致？ 3 点，是到原点的距离，当满足，求组成的集合。 八 证明恒等式：。 九 记，，试用表示第一类曲面积分，，其中。 2009年中国科大数学分析考研试题的解答 一 、1 解 因为 ， 收敛， 所以绝对收敛。 2 证明 必要性 设在上一致连续， 对，当时，有， 设是Cauchy序列，则对此，，当时，有，从而有，所以有是Cauchy序列； 充分性 用反证法，假若在上非一致连续，则，，，虽然，但， 注意到为有限区间， ，因此中存在收敛的子列， 因，故亦收敛，且， 从而穿插之后，序列亦收敛，为Cauchy序列，但其像序列 恒有，不是Cauchy序列，与一致条件矛盾，所以假设不成立，故有在上一致连续，命题得证。 注：当为无限区间时，充分性不再成立，例如把上的任一Cauchy序列，映成Cauchy序，但在上不一致连续。 二、 1、解 当时，级数收敛,收敛域为 。 2、解 显然是方程的一个解， 当时，， ，显然在和上方程无解， 当时，，故方程在上只有唯一的根。 3 、解 计算级数的和， ， 令，， 则即为所有， 求导得到，及， 积分