GIS的地理数学基础.docVIP

第三章 地理信息系统的地理数学基础 六十年代至今，世界各国已建成了上千个地理信息系统，这些系统应用领域广，特别是应用在自然资源和环境等方面显示了很强的能力和极好的效果。对于每一个系统而言，具有各自不同的特征，但有一点是共同的，这就是每一个地理信息系统都具有统一的地理基础。 地理基础是地理信息数据表示格式与规范的重要组成部分。它主要包括统一的地图投影系统，统一的地理网格坐标系以及统一的地理编码系统。它为各种地理信息的输入输出以及匹配处理提供一个统一的定位框架，从而使各种地理信息和数据能够具有共同的地理基础。 §3.1地图投影概述 一、地图投影的基本问题 地图投影的基本问题是如何将地球表面(椭球面或圆球面)表示到地图平面上。由于地球椭球面或圆球面是不可展开的曲面，即不能展开成平面，而地图又必须是一个平面，所以将地球表面展开成地图平面必然会产生裂隙或褶皱。那么采用什么样的数学方法将曲面展开成平面，而使其误差最小，必须采用地图投影的方法，即用各种方法将地球表面的经纬网线投影到地图平面上。不同的投影方法具有不同性质和大小的投影变形，因此在各类地理信息系统的建立过程中，选择恰当的地图投影系统就是首先必须要考虑的问题。 投影，数学上的含义是两个面之间点与点、线与线的对应。同样，地图投影的定义是：建立地球椭球表面(或球体表面)与地图平面之间点与点或线与线之间的一一对应关系。  如果地球表面上有一点A(，λ)，它在平面上的对应点是Aˊ(X,Y)，按地图投影的定义，其数学转化公式为： 二、地图投影的变形 地球表面是一个不规则的曲面，即使把它当作一个椭球体或正球体表面，在数学上讲，它也是一种不能展开的曲面，要把这样一个曲面表现到平面上，就会发生裂隙或褶皱。在投影面上，则以经纬线的“拉伸”或“压缩”(通过数学手段)来避免之，从而可形成一幅完整的地图，也就因此而产生了变形。地图投影的变形，通常可分为长度、面积和角度三种变形，其中长度变形是其它变形的基础。为了进一步了解地图上的变形，应知道下列术语及其定义： 长度比——地面上微分线段投影后的长度ds′与其相应的实地长度ds之比。如用符号μ表示长度比，那么μ=ds′/ ds。 长度变形——长度比与1之差值。如用符号Vμ表示长度变形 即 Vμ=μ-1 投影上的长度比不仅随该点的位置而变化，而且随着在该点上不同方向而变化。这样，在一定点上的长度比必存在有最大值和最小值，称其为极值长度比，并通常用符号a和b表示极大与极小长度比。极值长度比的方向称为主方向。沿经线和纬线方向的长度比分别用符号m,n表示。在经纬线正交投影中，沿经纬线方向的长度比即为极值长度比，此时m=a或 b，n=b或a。 面积比——地面上微分面积投影后的大小dF′与其相应的实地面积dF的比称为面积比，通常用符号P表示，即 P=dF′/dF 面积变形——面积比与1之差值。用符号Vp表示，那么 Vp=P-1 角度变形——地面上某一角度投影后的角值β′与其实际的角值β之差。即β′-β。在一定点上，方位角的变形随不同的方向而变化，所以一点上不同方向的角度变形是不同的。投影中，一定点上的角度变形的大小是用其最大值来衡量的，即称最大角度变形，通常用符号ω表示。  变形椭圆——地球面上无穷小圆在投影中通常不可能保持原来的形状和大小，而是投影成为不同大小的圆或各种形状大小的椭圆，统称为变形椭圆。如图3-1-1。  r r′ r″ b a a b a b a b 实地上的 一个微分圆 a=b=r′r a=b=r″r ab=r2 ar, b=r a≠b≠r ⑴ ⑵ ⑶ 图3-1-1 变形椭圆 一般可以根据变形椭圆来确定投影的变形情况。如投影后为大小不同的圆形，见图3―1－1(1)，a=b则该投影为等角投影；如果投影后为面积相等而形状不同的椭圆，如图3-1-1(2)，a·b=r2 则该投影为等面积投影；如果投影后为面积不等形状各不相同的椭圆，如图3-1-1(3)则为任意投影，其中如果椭圆的某一半轴与微分圆的半径相等，如b=r则为等距离投影。从变形椭圆中还可看出，变形椭圆的长短半轴即为极值长度比，长轴与短轴 的方向即主方向。 等变形线——投影上变形值相等的点的连线，有面积比等值线、最大角度变形等值线等。