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值域问题值域问题是高中函数的一个精华问题。有很多问题都是围绕着他展开的。比如说恒成立问题，值域反求定义与问题（即反函数求定义域）……等等。下面就说一下最基本的集中求值域问题的类型。 首先要着重说的是：求值域，必先看定义域。所有函数都是如此。 1.单调性法 利用函数的单调性。当一个函数单调性很容易判断时，可用定义域来求解。 e.g.1 y=x-√（1-2x).求值域。 解：1-2x≥0,得x≤1/2. 观察得，函数在指定区间内为增函数，所以y有最大值，即1/2-√（1-1）=1/2. 所以值域为（-∞，1/2]。 2.判别式法。适用于y是x的2次函数的情况。且x∈R. y=(x^2-x)/(x^2-x+1).求值域。 解：将原式变形得 y*(x^2-x+1)=x^2-x.整理得 （y-1）x^2+(1-y)x+y=0. 因为y=1时，推出y=0.即xΦ 所以y≠1. xR，即此式恒有根，所以Δ=（1-y)^2-4(y-1)*y≥0, 解得-1/3≤y≤1. 又因为y≠1,所以 y[-1/3,1). 注：此法可用的原因：化成x的式子后发现，xR对该式都成立，也就是说有这样的x,一定可以为根，要y来配合。此式由无穷个根，即如果你给了合适的y后，在式子中总能找到x解。那么这个y就是为了保证让式子一定有解才会满足xR成立，即判别式大于等于0. 3.分离常数法。适用于分母分子有相同的形式的部分，然后用观察法（单调性法） y=(2-sinx)/(2+sinx).求值域。 变形为y=(-2-sinx+4)/(2+sinx)=-1+4/(2+sinx) 因为sinx[-1,1],所以2+sinx[1,3].所以4/（2+sinx)[4/3,4]. 所以y[1/3,3] 4.反表示法。把未知项（含x项）用y来表示，要知道未知项的范围。 y=3^x/(3^x+1).求值域。 解：变形得3^x(1-y)=y.讨论 当y=1,即3^x/(3^x+1)=1.不成立（因为此式小于1）所以y≠1, 则有3^x=y/(1-y).这就是说3^x与y/(1-y）是等同的。那么他们的范围也就等同。也就是说y/(1-y)＞0.解得y(0,1). 5.几何意义法。题干的形式会让我们产生联想。如想到斜率、两点间距离公式等。 。y=√(x^2+1)+√[(2-x)^2+4].求值域。 先看定义域，全体实数。那么不用管了。 变形得y=√[(x-0)^2+(0-1)^2]+√[(x-2)^2+(0-2)^2]. y的几何意义是（x,0)点到点（0，1）的距离与（x.0)点到点（2，2）的距离的和。画出图像，观察知，当（x,0)点在直线y-2=3/2(x-2)上时，有最小值。 解直线与x轴交点，得x=2/3.对应的原函数值y=√(4+9)=√13.(勾股定理） 。求y=sinx/(2-x)的值域。 解：变形得y=-(0-sinx)/(2-cosx).y的几何意义是（2，0）到（cosx,sinx)的斜率的相反数。画图，观察计算得k的范围是[-√3/3,√3/3]. 所以y的范围是-k,为[-√3/3,√3/3]. 如果你是新生的话，可能有些东西你还没接触到，理解的会差一些。没关系，不出几个月，你就都能学到了。 除了上面我介绍的几种方法外，还有什么换元法，上下同除法，平方去根号法，导数法等等。但最常用的还是上面那几个。一、函数定义域： 1．函数定义域的概念，如何表示？ 2．函数定义域的求法： （1）含有分式的：分母不等于0 例1．求函数的定义域。 （2）含有偶次根式的：被开方式大于等于0 例2．求函数的定义域。 求函数的定义域。　 （3）抽象函数的定义域： 例3已知的定义域为[0，1]，求的定义域。[-1，1] 例4已知的定义域为[-2，3），求的定义域。 例5已知的定义域为[a，b]，且，求函数 的定义域。 例6已知的定义域为[0，1]，求的定 义域。 （4）实际问题（应用题） 例7已知扇形的周长为20cm，试用扇形半径x表示其面积；求此函数的定义域，并作出图象。 例8如图，圆锥型量杯口径为2R，高为h，求量杯母线上刻度V（容积）与液面深x的函数关系。 略解：设液面半径为r，则， 　 二、函数的值域： 1．值域：函数值的集合叫做值域。 注意：必须用集合表示 。2．函数值域的求法： （１）观察法：由函数的定义域结合图象，或直观观察，准确地判断 函数值域的方法。 例１求函数的值域。 例２求函数的值域。 （２）最值法：对于闭区间上的连续函数，利用求函数的最大值和最 小值来求函数的值域的方法。 例３求函数的值域。　 　　 （３）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。 例４求函数的定义域。 （４）换元法：通过对函数恒等变形，将函数化为易求值域的函数