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浙江理工大学本科毕业设计（论文）开题报告 班 级 07数学与应用数学1班 姓 名 盛凌云 课题名称 Blasius方程的对称性分析 开题报告 1 选题背景（主要对应文献综述内容） 2. 立题依据与意义 3. 研究内容与可行性分析 4. 预期研究成果 5. 研究工作计划（进度安排）； 6. 参考文献 成绩： 答 辩 意 见 （从选题、任务工作量、质量预期、可行性等几个方面） 答辩组长签名： 年 月 日 系 主 任 审 核 意 见 签名： 年 月 日 开题报告全文： 选题背景 微分方程的对称理论首先追溯到挪威著名数学家S.Lie，他受到十八世纪初期创立的Galois理论的影响和激励，引进了连续群的概念，现在称为李群，目的是为了统一和扩展形形色色的特定的关于常微分方程的求解方法。Lie证明了如果一个常微分方程在单参数经典李变换群作用下是不变的，那么其阶数可以构造性的减1。于是，提出了对称和群不变解方法，将以往的关于常微分方程的杂乱无章的方法统一起来。Lie的方法比较系统，很快受到了重视。它的应用领域很广泛，包括代数拓扑、微分几何、经典力学、特殊函数、相对论、连续固体力学等等，很难估计Lie对现代科学以及数学做出的重要贡献。 李群的基本思想是寻找给定方程的对称群，在微分方程的研究中，它是一个十分有用的方法。由经典李对称理论可以得到很多十分有用的结果：例如，将偏微分方程的维数降低，即减少一个自变量，特别是两个自变量的方程即可化为常微分方程。常微分的降阶，对于一阶常微分方程可求出其显式解，进而构造相似解，生成新的解，而这种解用其他的方法很难得到。由于对称群将方程的解变为解，因此可由一特解生成依赖于参数的新解。如果一个偏微分方程系统在经典李变换群作用下是不变的，我们得到微分方程对称的决定方程组，通过求解对称的决定方程组，我们得到了相应的对称。 二、 立题依据与意义 随着科学技术的快速发展，非线性科学在自然科学，社会科学等领域的应用越来越广泛，特别是寻求非线性波动方程的精确解在非线性问题的研究中显得越来越重要。近几十年来，人们不但陆续提出而且发展了许多求解非线性方程的有效方法，比如反散射方法、齐次平衡法、F一展开法、动力系统分支理论方法、tanh函数法 、推广的tanh函数法、李群方法(又称李对称分析方法)等等。应用李对称分析方法构造非线性方程的精确解是一种直接而且很有效的方法，通过该方法，可以获得非线性方程的很多种形式的解，比如行波解、孤波解、周期波解、幂级数解，基本解等等。粗略地说，一个微分方程的对称群就是将方程的解仍变为该方程的解的变换群，一旦得到了方程的对称群，则可利用对称群来研究方程的许多性质。最直接的应用就是利用对称求得方程的群不变解和新的约化解。[3] 田畴[2]对李群的内容进行分析，使得其通俗易懂便于更多的人了解并懂得在生活中的应用。李群理论最有意义的应用之一就是常微分方程的积分。李群的奠基人S.Lie的一个基本思想就是，一个常微分方程系统，如果知道了它的足够大的不变群，则可通过积分求出它的通解。具体说，如果知道了一个微分方程的一个单参数不变群，一阶的方程就可以通过积分求解，高阶的方程则可以降阶。 通过一半无限大平板的不可压缩的两维稳定流是一个典型的工程问题，由于在平板附近有一层薄的粘性边界层，通常被称为边界层流问题．边界层方程被称为Blasius方程，它是一个非线性边值问题．截至目前，已有文献探讨了Blasius方程的解法．如：H．Schlichting用级数展开的方法[6]求解了该问题；J．H．He用变分法给出了其数值分析结果[7]；L．T．Yu用Taylor级数展开和域分解技术[8]解决了该问题；王磊用Adomian分解算法[9]给出了求解问题的思路等。 本篇论文主要研究的是李对称方法在Blasius方程中的应用。李对称提供了一套系统的方法，使得微分方程达到降阶的目的。在此文中就表现为运用李群的知识，通过正则坐标将Blasius方程先降阶，然后再去求解。通常使用标准方法解微分方程时，有时太过于复杂。利用李对称方法，在一定的条件之下使得解题更为简洁，也达到了解出方程的目的。 而且，运用同类方法在解其他的微分方程上具有较大的通用性，意义重大。 三、研究内容与可行性分析 1904年，Prandtl[10]在实验观察的基础上提出了边界层的概念，并根据边界层的性质，用数量级比较的方法，简化了N-S方程，得出了著名的Prandtl边界层微分方程．此后不久，边界层理论就被成功地用于摩擦阻力的计算．此后，经过约20年的时间，层流边界层理论又被成功地应用于对流换热的理论计算．边界层理论的迅速发展，使它成为现