Jpgds《数学分析》导数与微分.docVIP

生命是永恒不断的创造，因为在它内部蕴含着过剩的精力，它不断流溢，越出时间和空间的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表现的形式表现出来。－－泰戈尔§1 导数的概念 [学习目的] 使学生准备掌握导数的概念。明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。 [学习要求] 深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。 [学习重点] 导数的概念。 [学习难点] 导数的概念。 [教学方法]“系统讲授”结合“问题教学”。 [学习程序] 一 导数的定义 引言（背景） 导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。具体来讲，导数的思想最初是有法国数学家费马（Fermat）为研究极值问题而引入的。后经牛顿、莱布尼兹（Leibuiz）等数学家的努力，提炼出了导数的思想，给出了导数的精确定义。 在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。 问题1. 已知曲线求它的切线：曲线方程，是其上一点，求通过点的切线方程。 问题2. 已知运算规律，求物体运动速度，运动规律：，为某一确定时刻，求质点在时刻的速度。 上述两问题中，第一个是几何学的问题，后一个是物理学问题，分属不同的学科，但问题都归结到求形如 的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都归化为讨论形如（1）的极限问题。为了统一解决这些问题，引进“导数”的概念，即称之为“在点处的导数”，记作。 导数的定义 定义1（导数） 设函数在的某邻域内有定义，若极限 存在，则称函数在点处可导，并称该极限为在点处的导数，记作。即 若上述极限不存在，则称在点处不可导。 利用导数定义求导数的几个例子 求在点处的导数，并求曲线在点处的切线方程。 证明函数在处不可导。 （C是常数），则。 可导与连续的连续 定理5.1. 若函数在点可导，则在点连续。 注 若在点不连续，则在必不可导。 单侧导数的概念 定义2 （右导数） 设函数在点的某右邻域上有定义，若右极限 （） 存在，则称该极限为在点的右导数，记作。 左导数 。 左、右导数统称为单侧导数。 二 导函数 可导函数 若函数在区间I上每一点都可导（对区间端点，仅考虑单侧导数），则称为I上的可导函数。 导函数 函数在点的导数与导函数的区别与联系 区别：导数是就一点而言的，是一个确定的数，一般与所给函数以及的值均有关，与无关；导函数是就一个区间而言的，是一个确定的函数，与所给函数有关，与、均无关。 联系：函数在某点的导数就是导函数在该点的值，因此，在的导数也记为：，， 。 导数与左、右导数的关系： 定理5.2 若函数在点的某邻域内有定义，则存在，都存在，且=。 例5． 设 讨论在处的左、右导数与导数。 注 函数在一点处的导数，不仅与函数在该点的函数值有关，而且还与函数在该点左、右两边的表达式有关。讨论分段函数在分段点处的导数，应用导数的定义。 例6． 证明 （ⅰ），（为正整数）；（ⅱ） ，；（ⅲ） ，. 特别地：。 三、导数的几何意义 曲线在点的切线方程：; 法线方程：. 例7． 求曲线在点处的切线方程与法线方程。