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第五章 常微分方程（简记ODE） 本章主要知识点 可分离变量的ODE 一阶线性非齐次常微分方程及推广 二阶常系数线性齐次与非齐次常微分方程 一些特殊类方程 一、可分离变量的ODE 1．基本型的解法 基本型： 基本解法： 例5.1． 解： 通解为： 将得： 得 例5.2． 解： ， 得： 例5.3． 解：， 得： 例5.4．已知满足，求。 解：由知。方程两边对求导得 ，分离变量求得， 将代入得，。 2．可转化的可分离变量的齐次方程 方法：令 。 例5.5． 解： 令 ， 将代入即可。 例5.6． 解： ， 令 即，，将代入即可。 二、一阶线性齐次方程（ODE） 1．基本型公式 公式： 注：应用此公式要注意：不定积分不带C；基本型又称标准型。 例5.7． 解：，其中。 ， 由公式得，。 例5.8． 解： ， 将代入得，， 。 2．Bernoulli方程 方法：令 ，方程可简化为 例5.9． 解：令 ，则，得 ， 故， 例5.10． 解：令，代入即得： 即 三、二阶常系数线性ODE 1．齐次方程，其中为常数。 求解步骤：1）特征方程 ，求根。 2） 互异实根，， ，； ，。 其中为任意实数。 例5.11． 解：得=4，-1， （其中为任意实数） 例5.12． 解：， 例5.13． 解：， 。 例5.14． 解：，， 。 2．非齐次方程 其中，表示次多项式。 解结构：齐次方程通解特解。 特解形式设定如下： （1）识别； （2）计算，和特征根相等个数，。 （3）特解可设为， 其中为次多项式。 注：这一公式是将通常教科书上若干公式统一而成。 例5.15． 解：（１）， ，， 齐次通解 （２）， ， ， 又设，代入原方程得 ，。 例5.16． 解：（１）， （２）， ，， 可设 计算得： 代入原方程得 ，， 。 例5.17． 解：（１）， （２）的特解 ， ，，，。 又设 代入原方程得 解得； （3）的特解 可设，代入得，D＝，。 综合得。 例5.18．设其中为连续函数，求的具体表达式。 解：原式两边求导得： 再求导得：，即且 （1） （2）设特解为代入原方程得 。 。 由条件得， 四、特殊类方程 （1）,等 方法：直接积分 例5.19． 解： 积分， 再积分， （2） 不显含 方法：令，则 ，则得到 ，降为一阶方程 例5.20． 解：令 ， ， 如果，则， 或 分离积分法 如果，那么 （其包含在上述解之中） 方程通解 （其中,为任意实数）。 单元练习题5 1．下列微分方程哪一个是线性的（　　） (A) (B) (C) (D) 2．方程，它是 阶微分方程。 3．方程的通解是 。 4．方程的特解可设为 。 5．求解下列常微分方程： 6．求一曲线方程，此曲线在任一点处的切线斜率等于，并且曲线通过原点。 7．设曲线上任一点处切线与直线垂直，求这个曲线的方程 8．一链条挂在一个无摩擦的钉上，假定运动开始时，链条一边垂下8m，另一边垂下10m，试问整个链条滑过钉子需要多少时间？ 9．设，为连续函数。求。 10．设处处可导，且并对任意实数x和y有 求. 11．有连结A(0,1)，B(1,0)两点的一条凸曲线，它位于AB弦的上方。P(x,y)为该曲线上的任一点。已知该曲线弧与AP之间的面积为。求该曲线方程。 历年真考题 1．（2001）微分方程的通解为： 。 2．（2001）求微分方程，满足初始条件的特解。 3．（2002）微分方程的通解是（ ） A. B. C. D. 4．（2002）设满足微分方程，且，则 。 5．（2002）求，满足的解。 6．（2003）满足的解是（ ） A. B. C. D. 7．（2003）解微分方程的通解。 8．（2004）微分方程的特解的形式应为 A. B. C. D. 9．（2004）设函数可导，且满足方程，求。 10．（2005）求微分方程满足初始条件的