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第十一章 无穷级数 §11.1 常数项级数的概念和性质 内容概要 名称 主要内容 常数项级数 （为常数） 常数项级数的收敛性 若则收敛，（:前项部分和） 常数项级数常用的性质 1. ，收敛收敛,且 2. 则与同收同发 3. 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性. 4．收敛(收敛的必要条件) 常用的结论 当时收敛其和为，当时发散. 例题分析 ★1. 已给级数， 1)写出此级数的前二项,; 计算部分和,; 计算第项部分和; 用级数收敛性定义验证这个级数是收敛的，并求其和. 知识点：前项部分和,常数项级数的收敛性. 解： 1) , 2) ; 3) 4) ,收敛,其和为 . ★★★2. 求常数项级数之和. 知识点：前项部分和. 思路: 利用 解： 令 则 以上两式相减得 即 , ，. 注：利用等比级数 判别级数的收敛性及求和是常用的方法. ★★3．设收敛,讨论下列级数的敛散性: 1) 2) ; 3) . 知识点：常数项级数的收敛性. 思路: 利用常数项级数的性质. 解：1) 发散. 注： ，则发散是判别级数发散常用的方法. 2) 常数项级数的性质: 加入有限项或去掉有限项,不改变级数的敛散性. 去掉前1000项得的级数仍收敛 3) ,发散. 课后习题全解 习题11-1 1.写出下列级数的前五项： ★(1) ★(2) ★(3) ★(4) 解：(1). (2). (3) . (4) 2.写出下列级数的一般项： ★(1) ★(2) ★(3) ★(4) ★★(5) ★★(6) 解：(1) . (2). (3) . (4) . (5) . (6) . 3.根据级数收敛与发散的定义判定下列级数的收敛性: ★★(1) ; ★(2); ★★★(3). 解：(1) . 所以,原级数收敛. (2) . 所以,原级数收敛. (3) , 所以,原级数发散. 注：另解 所以不存在，原级数发散. 4.判定下列级数的收敛性: ★(1) ★(2) ★★(3) ★★(4) ★★(5) ★★(6) 解：(1)此为等比级数，因公比，且，故此级数收敛于 (2) 级数的一般项：,由调和级数发散和级数的性质，知题设级数发散. (3) 原级数发散. (4) , 原级数发散. (5)均为等比级数且公比分别为 均收敛， 故原级数收敛. (6). 原级数发散. ★★5.求级数的和. 解：. ★★★6.求常数项级数之和. 解：, (上两式相减) . ★★7.设级数的前项和为，求级数的一般项 及和. 解：, 且. ★★★★8.利用柯西审敛原理判别下列级数的收敛性： (1) ； (2) ； (3). 解：(1)对于任意自然数，因为 （令解得） 故不妨设当时，对于任意自然数，都有 由柯西审敛原理，知所给级数收敛. (2) 对于任意自然数，因为 故不妨设当时，对于任意自然数，都有 由柯西审敛原理，知所给级数收敛. (3)，因为 项 故取对于任意，使得 由柯西审敛原理，知所给级数发散. 提高题 1.判定下列级数的收敛性: ★★1) ; ★★2) ; ★★★★3) ; ★★★★4) . 解：1) 收敛，发散， 发散. 2) 发散. 3) 发散. 4) 由数列单调递增趋于知： 即，,发散. 2. 求下列级数的和. ★★1); ★★★★2) 解：1) . , . 2) , . §11.2 正项级数判别法 内容概要 名称 主要内容 正项级数 （为常数，） 正项级数敛散性判别法 1.比较判别法 一般形式 若当为大于的常数，则 1) 收敛收敛. 2) 发散发散 极限形式 若，则 1) ,这两级数同时收敛同时发散. 2) ,收敛收敛. 3) ,发散发散. 2．比值判别法 ,则 1) ,级数收敛