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MATLAB求微分方程的解 一、问题背景与实验目的 实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）． 对微分方程（组）的解析解法(精确解)，Matlab 有专门的函数可以用，本实验将作一定的介绍． 本实验将主要研究微分方程(组)的数值解法（近似解），重点介绍 Euler 折线法． 二、相关函数（命令）及简介 1．dsolve(equ1,equ2,…)：Matlab 求微分方程的解析解．equ1、equ2、…为方程（或条件）．写方程（或条件）时用 Dy 表示y 关于自变量的一阶导数，用用 D2y 表示 y 关于自变量的二阶导数，依此类推． 2．simplify(s)：对表达式 s 使用 maple 的化简规则进行化简． 例如： syms x simplify(sin(x)^2 + cos(x)^2) ans=1 3．[r,how]=simple(s)：由于 Matlab 提供了多种化简规则，simple 命令就是对表达式 s 用各种规则进行化简，然后用 r 返回最简形式，how 返回形成这种形式所用的规则． 例如： syms x [r,how]=simple(cos(x)^2-sin(x)^2) r = cos(2*x) how = combine 4．[T,Y] = solver(odefun,tspan,y0) 求微分方程的数值解． 说明： (1) 其中的 solver为命令 ode45、ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode23tb 之一． (2) odefun 是显式常微分方程： (3) 在积分区间 tspan=上，从到，用初始条件求解． (4) 要获得问题在其他指定时间点上的解，则令 tspan= （要求是单调的）． (5) 因为没有一种算法可以有效地解决所有的 ODE 问题，为此，Matlab 提供了多种求解器 Solver，对于不同的ODE 问题，采用不同的Solver． 求解器 Solver ODE类型 特点 说明 ode45 非刚性 单步算法；4、5阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达 大部分场合的首选算法 ode23 非刚性 单步算法；2、3阶Runge-Kutta方程；累计截断误差达 使用于精度较低的情形 ode113 非刚性 多步法；Adams算法；高低精度均可到 计算时间比 ode45 短 ode23t 适度刚性 采用梯形算法 适度刚性情形 ode15s 刚性 多步法；Gears反向数值微分；精度中等 若 ode45 失效时，可尝试使用 ode23s 刚性 单步法；2阶 Rosebrock 算法；低精度 当精度较低时，计算时间比 ode15s 短 ode23tb 刚性 梯形算法；低精度 当精度较低时，计算时间比 ode15s 短 (6) 要特别的是：ode23、ode45 是极其常用的用来求解非刚性的标准形式的一阶常微分方程(组)的初值问题的解的 Matlab 的常用程序，其中： ode23 采用龙格-库塔2 阶算法，用3 阶公式作误差估计来调节步长，具有低等的精度． ode45 则采用龙格-库塔4 阶算法，用5 阶公式作误差估计来调节步长，具有中等的精度． 5．ezplot(x,y,[tmin,tmax])：符号函数的作图命令．x,y 为关于参数t 的符号函数，[tmin,tmax] 为 t 的取值范围． 6．inline()：建立一个内联函数．格式：inline(expr, var1, var2,…) ，注意括号里的表达式要加引号． 例：Q = dblquad(inline(y*sin(x)), pi, 2*pi, 0, pi) 三、实验内容 1. 几个可以直接用 Matlab 求微分方程精确解的例子： 例1：求解微分方程，并加以验证． 求解本问题的Matlab 程序为： syms x y %line1 y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x^2),x) %line2 diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2) %line3 simplify(diff(y,x)+2*x*y-x*exp(-x^2)) %line4 说明： (1) 行line1是用命令定义x,y为符号变量．这里可以不写，但为确保正确性，建议写上；