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实验三 级数 【实验目的】 1.了解级数的有关理论。 2.了解函数的Taylor展开式。 3.学习,掌握MATLAB软件中有关命令。 【实验内容】 1.求函数的级数，并考察其Taylor展开式的前几项构成的多项式函数的图形向的图形的逼近情况。 2.计算级数的值。 3.验证Euler公式。 【实验准备】 1.级数的基本概念。数项级数；Taylor级数。 2.级数的MATLIB命令。主要用symsum,taylor求级数的和及进行Taylor展开式。 【实验重点】 1、级数的计算 【实验难点】 1、无穷级数的计算 【实验方法与步骤】 练习1 先用Taylor命令观察函数Maclaurin展开式的前几项,若观察前6项,相应的MATLIB代码为 clear;syms x; taylor(sin(x),0,1) taylor(sin(x),0,2) taylor(sin(x),0,3) taylor(sin(x),0,4) taylor(sin(x),0,5) taylor(sin(x),0,6) 运行结果为 taylor(sin(x),0,1) ans = 0 taylor(sin(x),0,2) ans = x taylor(sin(x),0,3) ans = x taylor(sin(x),0,4) ans = x-1/6*x^3 taylor(sin(x),0,5) ans = x-1/6*x^3 taylor(sin(x),0,6) ans = x-1/6*x^3+1/120*x^5 然后在同一坐标系里作出函数和其Taylor展开式的前几项构成的多项式函数,的图形,观察这些多项式函数的图形向的图形逼近的情况。在区间上作函数与多项式函数图形的MATLIB代码为 x=0:0.01:pi; y1=sin(x); y2=x; y3=x-x.^3/6;y4=x-x.^3/6+x.^5/120; plot(x,y1,x,y2,:,x,y3,:,x,y4,:) 运行结果如图3.1，其中实线表示函数的图形。 类似的，根据函数的Taylor级数 作图观察其展开式的前几项多项式函数逼近原函数的情况。 练习2 利用幂级数计算指数函数。指数函数可展开为幂级数 其通项为，因此用下列循环相加就可计算出这个级数。 x=input(x=);n=input(n=);y=1;%输入原始数据,初始化y for i=1:n y=y+x^i/prod(1:i);end,vpa(y,10), %将通项循环相加，得y 执行此程序，分别带入x=1,2,4,-4这四个数，取n=0，得到结果如下： 2.718281801,7.388994709,54.9671957672e-1 用vpa(exp(1),10),vpa(exp(2),10),vpa(exp(4),10),vpa(exp(-4),10)命令可得?的有10位精确有效数字的结果为 2.718281828,7.389056099,54.1831563889e-1 对照可知，用级数法计算的有效数字分别为8，4，2，0位。 因此这个程序虽然原理上正确，但不适用。对不同的x，精度差别很大。还存在其它的问题： 这个程序不能用于x的元素群运算；当x为负数时，它成为交错级数，收敛很慢；该程序要做次乘法，n很大时，乘法次数太多，计算速度很低；对不同的x，要取不同的n才能达到精度要求，因此n不应由用户输入，应该由程序按精度要求来选。 针对上面的四个问题,可以采用下面的四种方法改进: (1)允许数组输入,改进输出显示 x=input(x=);n=input(n=);y=ones(size(x)); %输入原始数据,初始化y for i=1:n y=y+x.^i/prod(1:i);%循环相加 s1=sprintf(%13.0f,i);s2=sprintf(%15.8f,y); %将结果变为字符串 disp([s1,s2])%显示 end, 执行此程序,输入x=[1 2 4 -4],n=10,结果为 1 2 3 5-3 2 2 513 5 3 2 623-5 4 2 734 5 5 2 742-3 6