Matlab常用微分方程模型.docVIP

07 常用微分方程模型 1 Matlab 求解微分方程 1.1 求微分方程通解 调用格式：y=dsolve(‘微分方程’,’x’) 1.2 求满足初始条件的微分方程特解 调用格式为：y=dsolve(‘微分方程’,’初始条件’,’x’) 1.3 求解微分方程组通解，此时默认变量为 t 调用格式为：[x,y]=dsolve(‘微分方程 1’，‘微分方程 2’) 1.4 求满足初始条件的微分方程组的解，此时默认变量为 t 调用格式为：[x,y]=dsolve(‘微分方程 1’，‘微分方程 2’，‘初始条件 1’，‘初始条件 2’) 例 1 求二阶微分方程的解 y ? cos? y, y(0) ? 0 【matlab 命令】 y=dsolve(D2y=cos(x)-y,y(0)=0,x); [y,how]=simple(y) 【输出结果】 y = 1/2*sin(x)*(2*C2+x) how = simplify 例 2 求微分方程组的解  ? f ? ?  f ? g ? g ? ? f ? g ? f (0) ? 0 ?? g(0) ? 1  [f,g]=dsolve(Df=f+g,Dg=f-g,f(0)=0,g(0)=1); [f,how]=simple(f) [g,how]=simple(g) 【输出结果】 f = 1/4*2^(1/2)*(exp(2^(1/2)*t)-exp(-2^(1/2)*t)) how = simplify g = 1/2*exp(2^(1/2)*t)+1/2/exp(2^(1/2)*t)-1/4*2^(1/2)*exp(2^(1/2)*t)+1/4*2^(1/2)/exp(2^(1/2)*t) how = expand 例 3 对于引例中的衰变模型，其微分方程模型是： ? dR ? ? dt ? ?kR ，  用 matlab 求镭质量的变化规律． 【matlab 命令】 R=dsolve(DR=-k*R,R(t0)=R0,t); R=simplify(R) 【输出结果】 R = R0*exp(-k*(-t0+t)) ??R |t ?t 0 ? R0  例 4 对于引例中的冷却模型，其微分方程模型是： ? dT  用 matlab 求解． ? dt ? ? ? ? ? ?k (T ? 20) T (0) ? 100 ， T (20) ? 60  T=dsolve(DT=-k*(T-20),T(0)=100,t) 【输出结果】 T = 20+80*exp(-k*t) 上述结果表示瓶内水温的变化规律：T ? 20 ? 80e ? kt ． 由条件T (20) ? 60 ，求出 k 的值． 【matlab 命令】 syms k T=60; t=20; s=-T+20+80*exp(-k*t); k=solve(s) vpa(k,6) 【输出结果】 .346574e-1 2 习题 １．解微分方程  dy （１） ? xy 2 ? y ? dy ? ? dx  ? xy 2 ? y dx ?? y(0) ? 1