Z变换与离散系统z域分析.docVIP

第八章：变换 §8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3） 定义（变换）： 序列的双边变换： （8-1） 序列的单边变换： （8-2） 注：1）双边： （8-3） 为Laurent级数，其中，是Laurent级数的正则部，是主部。 2）是复平面上的一点 图8-1 3）对因果序列：单边变换=双边变换。 定义（逆变换）：对双边变换 由Cauchy定理，有 （8-4） 其中，C为包围原点的闭曲线， 定义： （8-5） 注：（8-4）的求解：，，则有 图8-2 柯西定理证明示意图 收敛域： 定义（收敛域）：对有界，使的的集合。 判别方法： ，为充分条件 （8-6） 令，有两种判别级数收敛的方法。 达兰贝尔方法： （8-7） 柯西方法： （8-8） 若，则收敛； 若，则发散； 若，则不定。 序列的分类与收敛域： 右边序列： （8-9） （8-10） （8-11） 为圆的外部。 8-3 因果序列收敛域 （8-12） （8-13） 左边序列： （8-14） （8-15） （8-16） 为圆的内部。 （8-17） （8-18） 双边序列： （8-19） ＝右边序列＋左边序列 （8-20） 右边序列，左边序列，若则为环状收敛域，则无公共收敛域。 图8-4 双边序列收敛域 典型序列变换： 单位样值函数 （8-21） 单位阶跃函数 （8-22） 斜升函数 （8-23） 指数函数（右边） （8-24） 注：因式分解求变换的基础与变换不同， 而 复指数函数 （8-25） 指数函数（左边，逆因果序列） （8-26） §8.2 变换计算方法（《信号与系统》第二版（郑君里）8.4） 留数方法： （8-27） 图8-5 双边序列收敛域中的围线C （8-28） 注：1）（正）包围：逆时针方向走，极点在围线的左侧； 负包围：逆时针方向走，极点都在围线的右侧。 2）若的极点为阶，则 当时， （与LT逆变换类似） 例： 求： 解：右边序列； Z = 0随着n的取值不同分别是二阶、一阶极点，或不是极点。 ① 当时，极点为： ② 当时，极点为： Z3= Z4=0为二阶极点，其留数=6， 可求得： ③ 当时，有三个一阶极点： 可求得： 综上，有 长除法：略。 部分分式展开法：类似拉氏变换，Z变换亦有其基本单元： （8-29） 由于基本单元分子中含有因子z，因此应该对作部分分式展开： ，这样才能使符合基本单元的形式。 其中： 显然， 例： 求：，1），2），3） 解： 图8-6 X(z)/z的零极点 1） 2） 3） §8.3 变换性质（《信号与系统》第二版（郑君里）8.5） 线性性质： （8-30） 位移：用移位前序列的变换表示移位后序列的变换。 双边变换移位性质： （8-31） 收敛域 注：1），右移（延迟）步；，左移（导前）步。 2）引入步延迟算子： （8-32） 因果序列右移的变换性质： （8-33） 因果序列左移的Z变换纳入下列性质。 双边序列左/右移的单边变换： 左移性质： （8-34） 直观分析：左移m后，单边Z变换应该从序列的x(m)项开始。而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的，因此需要减掉。 口诀：左移项少须减掉。 右移性质： （8-35） 直观分析：右移m后，单边Z变换应该从序列的x((m)项开始。而原序列单边Z变换X(z)是从x(0)项开始的，因此需要把这m项加上。 口诀：右移项多须外扩。 线性加权(Z域微分 （8-36） 口诀：线性加权慢，微分负号z相伴。 思考题：序列线性加权后，收敛域是否变化？ 指数加权(Z域尺度变换 （8-37） 口诀：征集中……。 初值定理：若为因果序列，则 （8-38） 终值定理：若为因果序列，在单位圆上/外解析（在单位圆上，可有的任意阶极点），则 （8-39） 证明：是因果序列，则。 由序列左移后的单边变换性质有：，于是 例1：单位阶跃序列 例2：指数序列。 例3：指数序列，，则不宜用终值定理。 例4：斜变序列，显然。由终值定理验证： ，亦为无穷大。 例5： 事实上，序列一直振荡，终值不确定。 卷积定理：，，则 （8-40） 收敛域：两个z变换收