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章 节 第八章 z变换、离散时间系统的z域分析 1-3节 日期 教学目的 理解z变换及其收敛域，掌握典型序列z变换 教学重点 典型序列z变换；z变换的收敛域 教学难点 z变换的收敛域 教学方法 讲授 教学内容 第八章 z变换、离散时间系统的z域分析 8.1 引言 变换方法的原理可以追溯到18世纪。棣莫弗（De Moivre）、拉普拉斯（P.S.Lapalce）相继作出过杰出的贡献。 在离散信号与系统的理论中，变换成为一种重要的数学工具。它把离散系统的数学模型——差分方程转化为简单的代数方程，使其求解过程得以简化。因此，其地位类似于连续系统中的拉氏变换。 下面借助抽样信号的拉氏变换引出其定义。 若连续因果信号经均匀冲激抽样，则抽样信号为： 取拉氏变换： 令：或写作，且一般令则： (8-1) 上式即为单边变换。记为： (8-2) 8.2 z变换定义、典型序列z变换 与拉氏变换类似，变换也有单边和双边之分，对于一切只都有定义的序列，定义双边变换为： 显然，如果为因果序列，则双边和单边是等同的。 上面两式表明，序列的变换是复变量的幂级数（亦称洛朗级数），其系数是序列值。有些文献当中也把称为序列的生成函数。由于离散时间系统非因果序列也有一定的应用范围，因此在着重介绍单边变换的同时兼顾双边变换分析。 下面介绍一些典型序列的变换。 （一）单位样值函数 定义为： 如图8-1所示。 取变换，得到： 可见，与连续系统单位冲激函数的拉氏变换类似，单位样值函数的变换等于1。 （二）单位阶越序列 定义为： 如图8-2所示。 取变换，得到： 若，该几何级数收敛，它等于 （三）斜变序列 斜变序列为： 如图8-3所示。 取变换，得到： 该变换可以用下面的方法间接求得。 已知，当时有： 将上式两边分别对求导，得到： 两边各乘，就可得到斜变序列的变换： 同样，若对上式再对求导，可以得到： （四）指数序列 单边指数序列： 如图8-4。 取变换，得到： 若满足：，则可收敛为： 若令，当时，则： 同样，对单边指数序列变换式两边对求导，可以求得： （五）正余弦序列 单边余弦序列如图8-5所示。因为： 令，则当时，得： 同样，令，则得： 将上两式相加，得： 由变换的定义可知：两序列之和的变换等于各序列变换的和。根据欧拉公式，从上式可以直接得到余弦序列的变换： 同理可得正弦序列变换： 以上两式得收敛域都为：。 在指数序列的变换式中，令，则有： 同理： 借助欧拉公式，有上面两式可以得到： 上面两式就是单边指数衰减及增幅的余弦、正弦的变换。收敛域为：。一些典型的单边变换列于附录五。 8.3 z变换的收敛域 只有当级数收敛时，变换才有意义。对于任意给定的有界序列，使变换定义式级数收敛之所有值的集合，称为变换的收敛域（region of convergence，简写为ROC）。 对于单边变换，序列与变换式一一对应，同时也有唯一的收敛域。而在双边变换时，不同的序列在不同的收敛域条件下可能映射为同一个变换式。也即：两个不同的序列由于收敛域不同，可能对应于相同的变换。因此，为了单值的确定变换所对应的序列，不仅要给出序列的变换式，而且必须同时说明它的收敛域。在收敛域内，变换及它的导数是的连续函数，即变换函数是收敛域内每一点上的解析函数。 双边变换的表达式满足收敛的充分条件是绝对可积： 上式左边构成正项级数，有两种方法判定收敛性：比值判定法和根值判定法。 若一个正项级数为，判定其收敛的方法为： 比值判定：；根植判定： 当时级数收敛，当时级数发散，当时无法判定。 利用上述判定方法讨论几类序列的收敛域。 （1）有限长序列 这类序列只在有限区间（）内有非零的有限值，此时变换为： 上式是一个有限项级数。 当时，收敛域为且，即：； 当时，收敛域为，即：； 当时，收敛域为，即：。 （2）右边序列 这类序列是有始无终的序列，即当时，，此时变换为： 由根植判定法，该级数收敛应满足 即： 其中，是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为的圆外部分。 若，则收敛域包括，即； 若，则收敛域不包括，即。 显然，当时，右边序列变成因果序列，也就是说，因果序列是右边序列的一种特殊情况。 （3）左边序列 这类序列是无始有终的序列，即当时，，此时变换为： 进行变量代换可得： 由根植判定法，该级数收敛应满足 即： 其中，是级数的收敛半径。可见，右边序列的收敛域是半径为的圆内部分。 若，则收敛域不包括，即； 若，则收敛域包括，即。 （4）双边序列 一般写作： 该式可以