__参数估计.docVIP

第七章 参 数 估 计 【授课对象】理工类本科三年级 【授课时数】8学时 【授课方法】课堂讲授与提问相结合 【基本要求】1、理解参数估计的概念，熟练掌握点估计的矩估计法和极大似然估计法； 2、掌握估计量好坏的三个评选标准； 3、理解理解区间估计的概念，熟练掌握单个正态总体的均值和方差的置信区间；知道两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。 【本章重点】参数估计的矩估计法和极大似然估计法；区间估计的概念 【本章难点】估计的矩估计法和极大似然估计法；区间估计的概念 【授课内容及学时分配】 §7.0 前 言 上一章，我们讲了数理统计的基本概念，从这一章开始，我们研究数理统计的重要内容之一即统计推断。 所谓统计推断，就是根据从总体中抽取得的一个简单随机样本对总体进行分析和推断。即由样本来推断总体，或者由部分推断总体。——这就是数理统计学的核心内容。它的基本问题包括两大类问题，一类是估计理论；另一类是假设检验。而估计理论又分为参数估计与非参数估计，参数估计又分为点估计和区间估计两种，这里我们主要研究参数估计这一部分数理统计的内容： §7.1 参数估计的概念 统计推断的目的，是由样本推断出总体的具体分布，一般来说，要想得到总体的精确分布。是十分困难的，由第六章知道：只有在样本容量n充分大时，经验分布函数（以概率1），但在实际问题中，并不容许n很大。而由第五章的中心极限定理，可以断定在某些条件下的分布为正态分布，也就是说，首先根据样本值，对总体分布的类型作出判断和假设，从而得到总体的分布类型，其中含有一个或几个未知参数；其次，对另外一些并不关心其分布类型的统计推断问题，只关心总体的某些数字特征，如期望、方差等，通常把这些数字特征也称为参数。这时，抽样的目的就是为了解出这些未知的参数。 Eg1：设某总体，试由样本来估计参数。 Eg2：设某总体，试由样本来估计参数。 在上述二例中，参数的取值虽未知，但根据参数的性质和实际问题，可以确定出参数的取值范围，把参数的取值范围称为参数空间，记为 如：eg1：= eg2：= 1.Df.所谓参数估计，是指从样本中提取有关总体的信息，即构造样本的函数——统计量，然后用样本值代入，求出统计量的值，用该值来作为参数的估计。 此时，把统计量称为参数的估计量，把称为参数的估计值。 2.类型：包括 所谓点估计，是指对总体分布中的参数，根据样本及样本值，构造一统计量，若将作为的估计值，则称为的点估计量，简称点估计。记为= 区间估计：指对总体中的一维参数，构造两个统计量： = = 使得待估参数以较大的概率落在[，]内，此时，称[，]为的区间估计。 §7.2 点估计量的求法 0、引言： 关于点估计的一般提法是： 点估计量的求解方法很多，这里主要介绍矩估计法和极大似然估计法，除了这两种方法之外，还有Bayes方法和最小二乘法等。 一、参数的矩估计法：（K.Pearson提出） 矩估计法是一种古老的估计方法。大家知道，矩是描写随机变量的最简单的数字特征。样本来自于总体，从前面可以看到样本矩在一定程度上也反映了总体矩的特征，因而自然想到用样本矩作为总体矩的估计。 Df1:假设总体的分布函数为，其中为待估参数，是来自的一个样本，假设总体的各阶矩总是存在的，一般说来，它们都是的函数，据基本极限定理，样本矩：依概率收敛于总体矩；相应的，样本矩的连续函数也依概率收敛于总体矩的连续函数，因此，可以用样本矩作为相应的总体矩的估计量，而以样本矩的连续函数作为相应的总体矩的连续函数的估计量，把这种估计方法称为矩估计法。 具体作法是：令，，这是一个包含个未知数的联立方程组。一般来说，我们可以从中解出的一组解，然后用这个方程组的解分别作为的估计量，这种估计量称为矩估计量，矩估计量的观察值称为矩估计值。 Eg3：设总体的均值及方差都存在但均未知，且有0，又设是来自总体的一个样本，试求，的矩估计量。 解：因为 令 所以得 上述结果表明：总体均值与方差的矩估计量的表达式不会因总体的分布不同而异；同时，我们又注意到，总体均值是用样本均值来估计的，而总体方差（即总体的二阶中心矩）却不是用样本方差来估计的，而是用样本二阶中心矩来估计。那么，能否用来估计呢？能的话，与哪个更好？下节课将再作详细讨论。 这样看来，虽然矩估计法计算简单，不管总体服从什么分布，都能求出总体矩的估计量，但它仍然存在着一定的缺陷：对于一个参数，可能会有多种估计量。比如下面的例子： Eg4：设，未知，是的一个样本，求。 ， 所以 由以上可看出，显然是两个不同的统计量，但都是的估计。这样，就会给应用带来不便，为此，提出了以下的改进的方法： 二、极大似然估计法：（R.A.Fisher提出） 1.似然函数 Df2.设总体X的分布密度函数为或分布律为，，其