_印度与阿拉伯的数学.docVIP

第四章印度与阿拉伯数学 4.1 印度数学 1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．大约到了公元前2000年纪中叶，操印欧语的游牧民族雅利安人入侵印度，征服了达罗毗荼人，印度土著文化从此衰微不振． 印度历史上曾出现过强盛独立的王朝，如孔雀王朝(公元前324一前185)、笈多王朝(320—540)，但总体而言，整个古代与中世纪，富庶的南亚次大陆几乎不断地处于外族的侵扰之下．公元前6世纪，波斯帝国将印度变为它的辖区；公元前327年，亚历山大大帝赶走了波斯人，却在这里建立了马其顿人的莫尔雅帝国；大月氏人又曾将印度并入贵霜帝国的版图(1世纪一3世纪)．公元5世纪以后，印度更是先后遭受匈奴人、阿拉伯人、突厥人和蒙古人的侵占．这种多民族的交替入侵，使古代的印度文化包括印度数学不可避免地呈现出多元化的复杂背景． 如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围． 印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪一12世纪)． 4.1.1古代《绳法经》 由于达罗毗荼人的象形文字至今不能解读，所以对这一时期印度数学的实际情况了解得很少．印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文veda，原意为知识、光明，《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上．不同流派的《吠陀》大都失传，目前流传下来仅有7种，这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定理、矩形对角线的性质、相似直线形的性质，以及一些作图法等，在作一个正方形与已知圆等积的问题中，使用了圆周率的以下近似值： 此外还用到和3．16049的近似值．在关于正方形祭坛的计算中取 1．414 215 686。 由几何计算导致了一些求解一、二次代数方程问题，印度人用算术方法给出了求解公式． 耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成，流传下来的原始经典较少，不过有一些公元前5世纪一2世纪的注释．其中出现了许多计算公式，如圆周长，弧长等． 4.1.2“巴克沙利手稿” 关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”．其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号，如减号，状如今天的加号，“12-7”记成“12 7+”．巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码，其中用点表示0： 表示零的点号后来逐渐演变为圆圈，即现在通用的“0”号，这一过程至迟于公元9世纪已完成。有一块公元876年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“0”．瓜廖尔数系为： 用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算．“0”作为记数法中的空位，在位值制记数的文明中不可缺少，只不过不同的文明采取了不同的表示方法．早期巴比伦楔形文书和宋元以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号．后来(公元前3世纪)巴比伦人引进了一个专门记号表示空位，玛雅20进制记数中也有表示空位的零号(形状像一只贝壳或眼睛)，但无论是巴比伦还是玛雅的零号都仅仅用来表示空位而没有其他功能，更不被看作是一个单独的数．印度人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号．到公元11世纪，包括有零号的印度数码和十进位值记数法臻于成熟，特别是印度人不仅把“0”看作记数法中的空位，而且也视其为可施行运算的一个特殊的数．婆罗摩笈多、马哈维拉和婆什迦罗的著作中都有关于零的运算的记述． 印度数码在公元8世纪传入阿拉伯