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第二讲 导数及其应用 考纲要求 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.会求分段函数的导数.会求隐函数和由参数方程确定的函数以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）中值定理和泰勒（Taylor）定理,了解并会用柯西（Cauchy）中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数的极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单的应用. 8.会用导数判断函数图形的凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线. 9.了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径. 一、导数与微分 问题1 叙述导数、微分的定义与几何意义 答 1.导数的定义 函数在点处的导数 . 函数在点处左导数， 函数在点处右导数， 函数在点处可导； 导数的几何意义：若函数在点处可导，则表示曲线在点（其中）处的切线的斜率，曲线在点处的切线的方程为 . 2.微分的定义 设，如果，则称函数在点可微，并称为在点的微分.当在点可微时，有. 当是曲线上的点的纵坐标的增量时，就是曲线的切线上的点的纵坐标的相应增量. 3. 函数在点处有极限、连续、可导、可微的关系是 有极限 连续 可导 可微 例 1.函数在点处可导与极限存在有何关系？ 2.函数在点处可导与极限存在有何关系？ 问题2 如何求曲线的切线？ 答 关键是求出切点和斜率. 例 1.曲线上与直线垂直的切线方程为 .（，04-1） 2.设函数由方程所确定，则曲线在点 处的切线方程为 .（，03-2） 3.设在连续，且，则曲线在点处的切线方程为 .【】 问题3 叙述求导公式与法则. 答 1.基本初等函数导数公式（16个） ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ ⑾ ⑿ ⒀ ⒁ ⒂ ⒃ 2.求导法则 定理1 （函数的四则运算的求导法则） 设在点可导，则它们的和、差、积、商在点可导，且 ⑴； ⑵； ⑶； ⑷，() 定理2 （反函数的导数） 若函数在区间内单调可导，且导数，则它的反函数在对应区间内单调可导，且. 定理3 （复合导数求导法则） 若在点处可导，在点处可导,则复合函数在点处可导，且 . 注 使用复合函数求导法则的步骤： ⑴将函数读作的基本初等函数； ⑵对求导，乘以对的导数. 定理4（莱布尼茨公式） . 问题5 如何求各类函数的导数（或者微分） 答 求导运算是最基本的运算，也是考试中涉及最多的运算，读者必须熟练掌握求导公式、求导法则（四则运算法则、复合函数求导法则）以及各种函数的一、二阶导数的求法： ⑴初等函数（正确使用求导公式与法则） ⑵分段函数（分段点必须用定义求导） ⑶隐函数（两边求导法、公式法） ⑷参数方程确定的函数（利用导数公式：，） ⑸抽象函数（正确使用导数记号，注意和的区别） ⑹幂指函数（对数求导法） ⑺反函数（导数公式：） 例 1.，求. () 解 【熟练掌握复合函数求导法则】 ， ， ， 故. 2.设，则 . 解 ， . 3.设，求. 解 【用两边求导法】 方程两边对求导，得 ⑴ 将代入⑴，得； ⑴式两边对求导，得 ，⑵ 将代入⑵，得. . 4.设由所确定，求. 解 【用隐函数求导公式】 由确定， . 5.设二阶可导，且，，求 . 解 【用参数式求导公式】 ，. 6.设与互为反函数，且三阶可导，试用表示. 解 【利用反函数求导公式和复合函数求导法则】 ， 上式两边对求导，； 上式两边再对求导，. 7.已知函数具有二阶导数，且，函数由方程所确定，设，求，.（07-2） 解 ， ， 方程两边对求导，得，⑴ 将代入⑴式，得 ⑴式两边对求导，得 ，⑵ 将代入⑵式，得， 故，. 问题6 如何求分段函数的导数 答 分段函数的导数是重点，也是常考点，读者务必通过例题熟练掌握分段函数的求导方法，切记分段函数分段点必须用定义求导. 例 1.设，其中在上具有二阶连续导数，且，求并讨论的连续性. 解 时，； ， 故在连续，又在连续