~中心极限定理,抽样分布,参数估计要点.docVIP

第五章 大数定律及中心极限定理 大数定律是描述大量重复试验中呈现出来的平均规律性；而中心极限定理则描述大量独立作用的随机因素当每一微小且均匀对总和影响不大时，其综合效应往往呈现正态分布。 一、切比雪夫不等式：P{|X-E(X)| 为任意小的正数 或 P{|X-E(X)| 切比雪夫不等式反映了随机变量的离差与方差之间的关系，说明方差可以度量数据分散程度。 二、大数定理 1、贝努利大数定理 设m是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意正数，有： 贝努利大数定理说明当n 充分大时“事件A发生的频率与概率的绝对偏差小于任意小的正数”几乎必然发生，这正是“概率是频率的稳定值”的确切含义。 独立同分布随机变量切比雪夫大数定理 设是独立同分布的随机变量，E(Xi)= D(Xi)= i=1，2，则对任意 有： 上式说明经过算术平均以后得到的随机变量 在统计上有一种稳定性，它的取值将比较紧密地聚集在它的期望附近。 中心极限定理 1、设是独立同分布的随机变量， E(Xi)= D(Xi)= i=1，2， （1）当n充分大时，独立同分布随机变量（任意分布，不一定是正态分布）之和的分布近似与正态分布。 （2）当n充分大时，独立同分布随机变量（任意分布，不一定是正态分布）的平均值的分布近似与正态分布 2、棣莫非-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量Zn是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A发生的概率。当贝努利试验中当n充分大时，Zn近似服从正态分布N(np,npq)；事件发生的频率近似服从正态分布N(p,)。 棣莫非-拉普拉斯中心极限定理是贝努利试验应用中心极限定理的特例 第六章 统计量及其抽样分布要点 一、总体与样本 1、总体与个体 研究对象的全体称为总体，构成总体中每一个对象称为个体。 就研究对象而言我们往往是研究其数量指标，因此把总体作为一个随机变量用X表示。 2、样本 为了解总体分布，要从总体中抽取一部分个体研究，譬如抽取n个个体X1，X2……Xn，称为总体X的一个样本，n为样本容量。 3、简单随机样本 既有随机性（每一个体都有同等的机会被选入样本）又有独立性（即样本中每一样品的取值不影响其它样品的取值）的样本。简言之：简单随机样本…独立且与总体X同分布。 二、统计量及其分布 1、统计量与抽样分布 设……为取自某总体的样本，若样本函数T=T(……)中不含有任何未知参数，称T为统计量，统计量的分布称为抽样分布。 2、几个重要的统计量 （1）样本均值（ =）及其抽样分布 若总体X～N(，则的精确分布为N()；若X的分布未知，且E(X)=，D(X)=，当样本容量n较大时，则近似有~N() （2）样本方差（）及其抽样分布 样本标准差s= E()=D(X)=σ2 （注意结论与总体服从什么分布无关） 3、正态总体抽样的三大分布 （1）分布：设X1，X2……Xn独立同分布于标准正态分布N(0,1) 则=的分布称为自由度为n的分布，记为～（n） （2）F分布 ：设～（m）,～（n），，独立，则称统计量F=的分布称为自由度为m和n的F分布。记为：F～F（m,n），其中称m为分子自由度,n为分母自由度。 （3）t分布：若～N(0,1),～（n）, ，独立, 则称统计量t=的分布为自由度为n的t分布，记为t～t(n) （4）几个重要结论 与互相独立 ～ ～t(n-1) 第七章 参数估计要点 点估计（矩估计） 1、样本矩的概念： ⑴k阶原点矩=， 特殊的：a1= ⑵k阶中心矩:=称为样本， 特殊的二阶中心矩：b2= 2、点估计（矩估计） ⑴用样本均值（样本一价原点矩）估计总体均值E(X) ⑵用样本二阶中心矩估计总体方差D(X) 点估计的评价标准 相合性:要求样本容量越大估计越精 无偏性:设=（）是未知参数θ的估计，有E()=θ 则称为θ无偏估计，否则称有偏估计。 因为E()=E(X)，总体样本均值是总体均值E(X)的无偏估计。 因为E()=D(X)，总体样本方差是总体方差D(X)的无偏估计。 注意：因为 E()=D(X)≠D(X)，二阶样本中心矩不是样本方差的无偏估计。 （3）有效性:如果和都是θ的无偏估计，若D()D()，则称较有效 参数的区间估计 设θ为总体的未知参数，（）,（）是样本给出的两个统计量，若对于给定的概率1-α（0α1）有 P{}=1-α 则随机区间[，]称为参数θ的置信度为1-α的置信区间。 1、σ已知时的置信区间 统计量： u=~N(0,1)， 置信区间：[] 2、σ未知时的置信区间（注意在1中用s代替σ即可） 统计量：