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离散数学习题解 第二部分 代数系统 习题四 第四章代数系统 1．设I为整数集合。判断下面的二元关系是否是I上的二元运算 a）+={（x，y），z|x，y，zI且z=x+y} b）－={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x－y} c）×={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x×y} d）/={（（x，y），z）|x，y，zI且z=x/y} e）R={（（x，y），z）|x，y，zI且z=xy} f）={（（x，y），z）|x，y，zI且z= } g）min = {（（x，y），z）|x，y，zI且z=max（x，y）} h）min = {（（x，y），z）|x，y，zI且z=min（x，y）} i）GCD = {（（x，y），z）|x，y，zI且z= GCD（x，y）} j）LCM={（（x，y），z）|x，y，z∈I且z= LCM（x，y）} [解] a）是。由于两个整数之和仍为整数，且结果唯一，故知+：I2→I是I上的一个二元运算。 b）是。由于两个整数之差仍为整数，且结果唯一，故知一：I2→I是I上的一个二元运算。 c）是。由于两个整数这积仍为整数，且结果唯一，故知x：I2→I是I上的一个二元运算。 d）不是：例如若x=5，y=6，则z=x/y=5/6I；当y=0时z=x|y=x/0无定义。 e）不是。例如若x=2，y= -2，则z=xy=2 –2==；若x=y=0，则z=xy=0，则z=； g）是。由于两个整数中最大者仍为整数，且结果唯一。故知max：I2→I是I上的一个二元运算。 h）是。由于两个整数中最小者仍为整数，且结果唯一。故知min：I2→I是I上的一个二元运算。 i）是。由于两个整数的最大公约数仍为整数，且结果唯一。故知GCD：I2→I是I上的一个二元运算。 j）是。由于两个整数的最小公倍数仍为整数，且结果唯一。故知LCD：I2→I是I上的一个二元运算。 注：两个整数a和b的最大公约数GCD（a，b）定义为同时除尽a和b的正整数中最大的一个；两个数a数b的最小公倍数LCM（a，b）定义为同时是a和b的正倍数中最小的一个。 2．设X={x | x=2n，n∈N}问普通数的加法是否是X上的二元运算？普通数的乘法呢？ [答] 普通的加法运算不是X是X上的二元运算，因为存在着x1=2∈X，x2=22∈X，使x1+x2=2+22=6X。 普通的乘法运算是X上的二元运算，因为对于任意的x1=X，x2=X，这里n1，n2N，都有x1·x2=·=X（因为n1+n2∈N）。 3．设X，* 是代数系统，*是X上的二元运算，若有元素el∈X，使，有el*x=x，则称el是关于*的左幺元。若有元素erX，使，有x * el=x，则称er是关于*的右幺元。 a) 试举出公含有左幺的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左幺的代数系统的例子。 c) 证明：在代数系统中，若关于*有左幺元和右幺元，则左幺元等于右幺元。 [解] ：a) 构造代数系统X，*如下： 令X={a，b，c，d}，*：X×→X→X，其运算表如下： * a b c d a d a b c b a b c d c a b c c d a b c d 则此代数系统含有左幺元b，d，但不含右幺元。 b) 构造代数系统X，* 如下： 令X={1，2，3，4} *： X×→X→X，其运算表如下： * 1 2 3 4 1 1 2 4 3 2 2 1 3 4 3 3 4 1 2 4 4 4 2 3 则此代数系统含有右幺元1，但不含左幺元。 c) [证] 因为代数系统X，*关于*运算存在着左、右幺元，ei，er∈X 则 el = el * er = er∈ 4．设X，*是代数系统，*是X上的二元运算。若有元素Ol∈X，使(x∈X，有Ol*x=Ol是关于*的左零元。若有元素Or∈X，使(x∈X，有x*Or=Or，则称Or是关于*的右零元。 a) 试举出公含有左零元的代数系统的例子。 b) 试举出仅含有左零元的代数系统的例子。 c) 证明：在代数系统中，若关于*有左零元和右右零元，则左零元等于右零元。 [解] a) 构造代数系统X，*如下： 令X={a，b，c}，*：X×X→X，其运算表如下： * a b c a a a a b b b b c b c a 则a和b都是左零元，但没有右零元。 b) 构造代数系统X，*如下： 令X={1，2，3}，*：X×→X→X，其运算表如下： * 1 2 3 1 2 3 3 2 3 1 3 3 1 2 3 则3是右零元，但没有左零元。 c) [证] 因为代数系统X，*关于*运算存在着左、右零元，Ol，Or∈X