§—多元函数的偏导数与全微分(复习).docVIP

§6.3—6.5 多元函数的偏导数与全微分 偏导数 在求多元函数对某个自变量的偏导数时，只需把其余自变量看作常数，然后直接利用一元函数的求导公式及复合函数求导法则来计算之。 13．求下列函数的偏导数： （3）； 解： （把看作常数，对求导） （把看作常数，对求导） （6）； 解：（把看作常数，对求导） （把看作常数，对求导） 高阶偏导数 例 设, 求 解 ， ， 17．求下列函数的二阶偏导数：（1）； 解：（1） 全微分 函数的全微分记为， 函数的全微分记为， 18．求下列函数的全微分： （3）； （4）在点（2, -1）处的全微分。 解：（3）因为 所以函数u的全微分为 （4）因为， 所以函数z的全微分为 因此 。 复合函数的偏导数或导数： 20．求下列复合函数的偏导数或导数： （2），求； 解一：， 解二：由变量分析图可得 （4），求。 解一：， 解二：由变量分析图可得 抽象复合函数的偏导数或导数： 例 设，其中f具有二阶连续偏导数，求。 解：引进中间变量，函数z可看作如下的复合函数 而 由变量分析图可得 ； 为了避免引进中间变量的麻烦，通常用记号表示对第一个中间变量的偏导数， 即，而用表示对第二个中间变量的偏导数，即，同样引用记号, 等等，引用这些记号，直接对未引进中间变量的函数求偏导数，就有 , 。 20．求下列复合函数的偏导数或导数： （3）设具有连续的二阶偏导数，求； 解：由变量分析图可得 隐函数的全微分： 由方程确定的隐函数的偏导数为 ； 全微分为 例 设方程，求。 解一：（公式法）设，则 由隐函数求偏导数公式得 所以函数的全微分 把代入：，解得。 时； 时，此时 解二：（全微分法）方程两边求全微分： 应用全微分形式不变性，得： 所以函数的全微分 时分母，函数不可微； 时， 21．求下列方程所确定的隐函数的全微分： （1），； 解一：（公式法）设，则 由隐函数求偏导数公式得 所以函数的全微分 解二：（全微分法）方程两边求全微分： 应用全微分形式不变性，得： 所以函数的全微分 6