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第 2 讲 §4—6 结合律、交换律及分配律（2课时） (Associative Law Commutative Law and distributive law ) 本讲教学目的和要求：给一个集合赋予了代数运算后，犹如使一潭死水泛起了波澜，好比对这集合赋予了生命。本节的教学目的就是要针对不同的代数运算，讨论集合的生命的意义——附有代数运算的集合所具有的意义。本讲要求学生能弄清楚： 1、什么是结合律，交换律和分配律，它们成立的前提是什么？背景都有什么不同？ 2、本讲中，在研究抽象的对象时，频繁地使用数学归纳法，其特点是什么？如何掌握。 3、在判断代数运算是否满足这些性质时，怎样使用运算表？ 本讲的重点和难点：真正吃透每个运算律讨论过程中主干理论的含义和证明步骤；尤其是分配律——具有两个代数运算，两者之间有何联系？ 本讲的教法和教具：使用展示台和投影仪。考虑本讲内容的特殊性，故主要采用提问式展开教学。 本讲思考题及作业：分别蕴含在教学内容中以及教学内容结束之后。 结合律： 定义1：设是集合的一个代数运算，如果都有 ，则称满足结合律。 例1、设“”是整数中的加法：则 “+”在中适合结合律。 例2、设“”是整数中的减法：则特取， ，而 这说明“-”在中不满足结合律。 上述实例告诫我们，并不是每一个代数运算都能满足结合律的，另，我们如下明示： 代数运算就是二元运算，当元素个数时，譬如同时进行运算：，这已经超出了我们定义的范围，这个符号至少现在是没有意义的。 对四个元素我们可以进行两两运算，进行了三次后就能算出结果，但加括号的步骤显然不止一种： ；； … … … 加括号的步骤不一样，其运算的结果是否一样？ 定义2：设中的代数运算为，任取个元素，如果所有加括号的步骤最后算出的结果是一样的，那么这个结果就用来表示。 注意：从定义2可知，“”也可能是有意义的。 定理1：如果的代数运算满足结合律，那么对于的任意个元素来说，所有加括号的步骤运算的结果总是唯一的，因此，这一唯一的结果就可用来表示。 [论证思路] 因是有限数，所以加括号的步骤必是有限的。 任取一种加括号的步骤，往证： 对用数学归纳法。 ① ②和分别是和个元素经加括号而运算的结果. ③，由归纳假设释之. [课堂练习] Jdentify which of the algebra operations are associatire and commuatire on the R. 1、；2、；3、； 4、； 5、；6、； 7、。 Solution:1、√、√；2、×，√；3、√，√；4、×，×； 5、×，√；6、√，√；7、√，√。 交换律 定义3：设是集合的一个代数运算，如果都有 ，则称满足交换律。 定理2：设的代数运算同时满足结合律和交换律，那么中的元的次序可以任意掉换。 [论证思路] 采用数学归纳法，归纳假设时命题成立. 对的情形，任掉换的位置，使之成为. 注意是的一个排列. 令. 用结合律和归纳法假设证明之. 三、分配律 定义4：设都是集合，而是的代数运算，而是的代数运算，如果，都有 那么称满足左分配律（第一分配律） 定理3：设和如上，如果满足结合律，且满足左分配律，那么，都有 [论证思路] 采用数学归纳法，归纳假设时命题成立。 先后利用：结合律——的归纳假设——的归纳假设直至完成证明。 定义5：设和同上，若，若有 ，那么称满足右分配律 定理4：设和同上，若适合结合律，而适合右分配律。那么。 注意：定义4与定义5，、定理3与定理4是对称的两对概念，所以定理4的证明可依据定理3的思路解之。 作业： ②，。