§习题解答与模拟试题.docVIP

习题解答 1.求下列二元函数的导数与微分： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹。 做题方法：因为这些函数都是初等函数，而它们的偏导数都是连续的，所以它们都是可微分的。先求出偏导数，然后写出导数与微分。 譬如解⑹，偏导数为 于是，导数为 而微分为 请你做其他习题。 答案：⑴，； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸， 。 2.说一说三元函数在点可微分与微分的定义。 若有与无关的常数，使 或 其中，则称函数在点为可微分，而且 （微分） （导数）（三维向量） 3.求，其中 ⑴； ⑵； ⑶； ⑷。 解 譬如解⑷， ，， 于是，，，。 因此， 注：在点处，求的偏导数的简单做法是： 因为，所以 因为，所以 因为，所以 请你做其他习题。 答案：⑴；⑵； ⑶ 4.函数值的近似值 设函数在点可微分。因为 略去右端最后一项高阶无穷小量，则有近似公式 由此证明：当与都很小时， ⑴； ⑵。 证 ⑴选取，，，则；又因为，，所以，。代入上面的近似公式，则得 ⑵选取，，，则；又因为，，所以，。根据上面的近似公式，则 5.利用习题中的近似公式，近似地计算： ⑴； ⑵； ⑶ 解 ⑴选取，，，，则；又因为，，所以 ， 代入习题中的近似公式，则 ⑵选取，，，，则；又，，所以，，代入习题中的近似公式，则 ⑶选取，，，，则；又，，所以 ， 代入习题中的近似公式，则 【】 6.写出下列曲面在指出点的切平面方程与法线方程： ⑴在点； ⑵在点 解 ⑴先求偏导数：，。于是，所求切平面方程为 而所求法线方程为 ⑵先求偏导数： ， 于是，切平面方程为 而法线方程为 7.证明：函数在点连续且有偏导数，但不可微分。 【此例说明，定理的逆命题不成立】 证 显然，它在点连续；又因为有极限 所以有偏导数与 其次，【反证法】若在点可微分，根据定理和可微分的定义，则 这与极限不存在【见下注】矛盾。 注：当点沿轴无限接近时，极限 当点沿直线无限接近时，极限 因此，没有二重极限 8.设函数 ⑴求偏导数和； ⑵说明它在任意点可微分； ⑶说明它在原点不可微分。 解 ⑴ 当时，按照初等函数求偏导数，即 根据对称性， 当时，根据定义， ⑵ 因为偏导数和都是连续函数，根据定理，所以函数在任意点可微分。 ⑶【反证法】假若函数在点可微分，根据可微分的定义和定理，则 这与极限不存在矛盾【见教科书,P。033,例】。 点评：验证函数在某点是否可微分，首先看它在该点是否满足可微分的必要条件【即连续且存在偏导数】，不满足必要条件时就不可微分；当函数在点满足可微分的必要条件时，再看它是否满足条件 满足时就可微分。上面题和题的解法中，就是根据这种思路证明函数在点不可微分。下面习题的解法中，也是根据这种思路证明了那个函数在点可微分。 9.设函数 ⑴求偏导数和； ⑵证明函数在点可微分； ⑶说明偏导数和在原点不连续。 【此例说明定理的条件(偏导数连续)不是函数可微分的必要条件】 解 ⑴ 当时，按照初等函数求偏导数，即 根据对称性， 当时，根据定义， ；同理， ⑵ 因为 所以。因此，有和，使 根据可微分的定义，函数在点可微分。 ⑶ 偏导数和在点不连续，是因为它们在点没有（二重）极限。事实上，当点沿直线无限接近点时，不存在极限 【见下面点评】 点评：要证明不存在函数极限，或者选取一个数列，使函数值的数列没有极限；或者选取两个数列和，使【这是根据海因定理（教科书，上册，p。264）的逆否命题得出的结论】。譬如证明上面习题最后的结论，可取数列与，则 模拟试题 多元函数的可微性，以及它的微分是考研试题中的重要考点之一。 ㈠ 填空题 (1)设二元函数，则 分析：先求偏导数，再写出微分。因为 所以。 因此， (2)设函数由方程所确定，则 分析：由方程确定的隐函数，在两端分别关于求偏导数，可解出和，最后写出。具体做法如下： 因此， (3)设函数满足恒等式，则的微分 分析：令，则，于是， 即。因此， (4)曲面的一个切平面平行于平面，则切点为 分析：曲面的切平面的法向量为，它与所给出的平面的法向量平行【对应坐标成比例】，即 代入，得。因此，所求切点为 (5)曲面的切平面与平面平行，则该切平面方程是 分析：需要先求出切点（坐标），方法同上题。根据假设，即曲面的切平面与平面平行，就是两者的法向量平行，其中平面的法