§函数的极大(小)值和最大(小)值.docVIP

§2-6 函数的极大(小)值和最大(小)值 1.函数的极大(小)值 一个函数在它有定义的区间上可能没有最大(小)值，但它在某个部分区间上可能会有最大(小)值，即局部最大值或局部最小值.函数的局部最大值或局部最小值，又称为函数的极大值或极小值.具体地说，设函数在点连续.若有足够小的正数，使 (图2-21) 则称函数在点取到极大值，并称 点为函数的极大值点.同理，使 (图2-21) 则称函数在点取到极小值，并称 点为函数的极小值点.函数的极大值和 极小值统称为函数的极值，而函数的极大值点和 极小值点统称为函数的极值点. 因为函数的极值是函数在小范围内的最大值或最小值，根据定理2-1，我们就有下面的结论： 若函数在某区间内的点处取到极值且有导数，则. 因此，是可微函数在点取到极值的必要条件,但它不是可微函数取到极值的充分条件! 例如函数，尽管有，但不是它的极值点(图2-22).以后，就把使的点称为函数的驻点(可能不是极值点). 需要指出，不能把上面的结论简单说成“函数取到极值的必要条件”.例如，函数 (图2-23)，它在点0有极小值(也是最小值)，可是它在点0没有导数.因此， 函数在区间内部的极值点只可能是它的驻点或没有导数的点. 它们合在一起称为函数的临界点. 一般情形下，求连续函数在开区间内的极值时，一般步骤是： 第一步，求出在区间内的所有临界点(即驻点或没有导数的点)； 第二步，对于每一个临界点，再用下面的判别法验证它是否为极值点； 第三步，求出函数在极值点处的函数值(即函数的极大值或极小值). 判别法Ⅰ 设为连续函数在区间内的临界点(驻点或没有导数的点).若有足够小的正数，使(见图2-24) ⑴在内是增大的且在内又是减小的，则是极大值； [或] [或] ⑵在内是减小的且在内又是增大的，则是极小值； [或] [或] ⑶在内是增大的或是减小的，则不是极值. 当为函数的驻点且时，就用下面的判别法Ⅱ. 判别法Ⅱ 设为函数在区间内的驻点[即].若有二阶导数，则 ⑴ 当时，是极大值； ⑵ 当时，是极小值. [当时，函数在点是否取到极值，需要做进一步的讨论] 证 根据例22（§2-5），则有 于是得 因为，所以当足够小时，与同符号.因此，有正数，使当时， 这就是要证的结论. 例23 求函数的极值. 解 ， 由得驻点.因为，所以 是极大值； 是极小值. 【注】若函数在点没有导数或二阶导数，就去用上面的判别法Ⅰ. 2.函数的最大(小)值(又称为绝对极值) 函数的最大(小)值是指函数在定义域或定义域中某个区间上的最大(小)值.求连续函数在闭区间上的最大值和最小值时，方法更简单： 第一步，先求出在开区间内的临界点；并求出在所有临界点上的函数值. 第二步，把以上函数值与区间端点上的函数值和放在一起做比较，其中最大者就是函数在闭区间上的最大值，最小者就是函数在闭区间上的最小值. 非闭区间上的连续函数可能没有最大值或最小值.在这种情形下，就要根据具体问题，经过分析后才能确定某个函数值是最大值或最小值.例如， ⑴ 函数在区间上增大(减小)时，就是最小值(最大值)； ⑵ 函数在区间上增大(减小)时，就是最大值(最小值)； ⑶ 设有点. 若函数在区间上增大且又在区间上减小，则就是最大值；若函数在区间上减小且又在区间上增大，则就是最小值. 例24 证明不等式：. 证 令，则在上是连续函数.因为 [即函数是增函数] 所以是最小值.因此，，即. 例25 证明：函数在区间内有最大值. 由此再证明近代数学中著名的赫尔窦(H?lder)不等式: 证 由得驻点. 因为 当时， [即增大]， 当时， [即减小]， 所以是最大值. 其次，令，则 而根据上述结论，即，则得不等式 两端同乘，并注意，则得要证的不等式. 在非闭区间上求一个函数的最大(小)值问题，常常出现在实际应用问题中.解这类问题时，首先需要根据问题本身，运用几何学或物理学或其他有关科学中的知识，列出“目标函数”(即要求它的最大值或最小值的函数)的函数式.这样，问题就变成求目标函数的最大值或最小值.例如， “当矩形周长为定值时，它的长和宽为何值时面积最大？” 或“当矩形面积S为定值时，它的长和宽为何值时周长最小？” 设矩形的一边长为，则前一个问题的目标函数就是(矩形面积) 而后一个问题的目标函数就是(矩形周长) 这样，问题就变成求函数的最大值或求函数的最小值. 例26