§多元复合函数的微分法及偏导数的几何应用.docVIP

8.4多元复合函数的微分法 在一元函数微分学中，复合函数的链式求导法则是最重要的求导法则之一，它解决了很多比较复杂的函数的求导问题．对于多元函数，也有类似的求导法则. 8.4.1多元复合函数的求导法则 1.二元复合函数求导法则 与一元复合函数求导相比，二元复合函数的求导问题要复杂的多.对于二元函数，中间变量和都可以是和的二元函数；也可以只是某一个变量的函数，还可能中间变量和分别是不同个数自变量的函数，譬如是的函数，而只是的函数；等等。下面讨论二元复合函数的求导法则，对二元以上的多元函数的求导法则可类似推出． 定理8.4.1设函数是的函数，．若在点处偏导数都存在，在对应点处可微，则复合函数在点处关于的两个偏导数都存在，且 (8-1) 我们借助于复合函数的函数结构图对复合函数求偏导数的过程进行分析.函数的结构图，如图8-4所示. 从函数结构图可以看出，和的函数关系可以由两条路径得到.一条是经中间变量到达自变量，还有一条是经中间变量到达自变量的.从公式(1)的第一式可以看出，和的函数关系有两条路径，对应公式中就有两项，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数和中间变量关于自变量的偏导数的乘积构成. 例8.4.1设，求和． 解：令，则 函数结构图，如图8-5所示. =+= =, =+= =. 例8.4.2设，求和． 解：令，则，函数结构图，如图8-5所示. =+= =, =+= =. 2.二元复合函数求导法则的推广和变形 多元复合函数的中间变量可能是一个，也可能多于一个，同样，自变量的个数可能只有一个，也可能是两个或者更多.我们可以对定理1进行推广和变形，分以下几种情形讨论： （1）当函数有两个中间变量，而自变量只有一个，即．函数结构图，如图8-6所示. 因此(8-1)变形成为． 因为复合结果和中间变量都是的一元函数，应该使用一元函数的导数记号；为了与一元函数的导数相区别，我们称复合后一元函数的导数为全导数． 当函数有三个中间变量，而自变量只有一个，即 ．函数结构图，如图8-7所示. 因此公式(8-1)可以推广成为 ． （2）当函数有一个中间变量，而自变量有两个.例如 .函数结构图，如图8-8所示. 此时(8-1)变形成为 在上面第一个式中，表示在复合函数中，把看作常量，求得的对的偏导数；表示在复合函数中，把看作常量，求得的对的偏导数，因此和表示的含义不同，在求偏导数是一定要注意，记号上不能混淆. 例如，函数结构图，如图8-9所示. 此时(8-1)变形成为 (3)当函数有两个中间变量，而自变量有三个，即．函数结构图，如图8-10所示。. 公式(8-1)推广成为 (4) 当函数有三个中间变量，而自变量有两个，例如 函数结构图，如图8-11所示。 公式(8-1)推广成为 例8.4.3设,求． 解:=． 例8.4.4,求． 解: 设中间变量。 函数结构图，如图8-12所示。 + =. 例8.4.5若函数，证明. 证明：令，则, , , 从而有. 复合函数求偏导数时要注意：函数关系要明确，复合层次要清晰，最好画出函数结构图；在求偏导数的过程中，要注意求导数与偏导数的区别，要注意记号与的区别. 一般情况下，如果复合函数的层次只有两层，那么中间变量有几个，则其偏导数（全导数）在形式上必由几项的和构成，其中每一项由两个因子的乘积表示，两个因子的乘积都是函数关于中间变量的偏导数（导数）和中间变量关于自变量的偏导数（导数）的乘积构成. 8.4.2二元隐函数的求导公式 在一元函数微分学中，求由方程确定的隐函数的导数，是通过 方程两边同时对求导，并注意到是的函数，的函数是的复合函数.现在利用多元函数求偏导数的方法求隐函数的导数，并将此结果推广到多元隐函数的求偏导数的情况. 1.由方程确定是的函数 将代入方程，得到，函数结构图，如图8-13所示，等式两边对求全导数得 , 便得到F(=0所确定隐函数的求导公式： . 这就是利用多元函数求偏导数的方法求隐函数的导数公式. 例8.4.6求由方程确定的隐函数的导数. 解:设， 则，,由隐函数求导公式 . 2.方程确定的隐函数 即,函数结构图,如图8-14所示，方程两端分别关于求偏导数，把原方程中的看做中间变量根据复合函数求导法则，可得 =0, =0， 在(0的区域内，得到隐函数z =f (x,y)的两个偏导数为 和 , 这就是二元隐函数求偏导数的公式． 例8.4.7由方程确定为和的函数，求，． 解:设.则 , ，， 所以, . 习题8-4 1. ,，