§双曲线的简单几何性质例题.docVIP

［例1］过点P(8，1)的直线与双曲线相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，求直线AB的方程. 选题意图：考查直线与曲线位置关系等基础知识. 解：设A、B的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2） 则=4 ① ② ①-②得 ∵P是线段AB的中点， ∴ ∴ ∴直线AB的斜率为2， ∴直线AB的方程为y-1=2(x-8). 即2x-y-15=0. 说明：此题也可设直线的斜率为k，然后待定k的值. ［例2］过双曲线的焦点F(c,0)作渐近线的垂线，求证：垂足H在与此焦点相对应的准线上. 证明：过F与垂直的直线的方程是. 由方程组得 即H点的坐标是()， ∴H在直线上. ［例3］已知双曲线的一条准线方程为，与这条准线相对应的焦点的坐标是(-,),且双曲线的离心率为，求双曲线的方程. 选题意图：灵活运用双曲线的定义解决数学问题. 解：设P(x,y)是双曲线上的任一点，P到直线的距离为 . P到焦点的距离为， ∴ ∴. 两边平方，得： ∴xy=-1. 即所求双曲线的方程为xy=-1. ［例4］如图，已知梯形ABCD中，｜ＡＢ｜＝２｜ＣＤ｜，点E分有向线段所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当时，求双曲线离心率e的取值范围. 选题意图：考查坐标法、定比分点坐标公式，双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力. 分析：关键找e与λ的关系. 解：建立如图所示的直角坐标系，设双曲线方程为. ∵双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称. 依题意，记Ａ（－ｃ，０），ｃ（），Ｅ（ｘ０，ｙ０） 其中是梯形的高. 由定比分点坐标公式得 ∵点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得： ① ② 由①得：代入②并整理得： 又，得： 解得≤ｅ≤ ∴双曲线离心率的取值范围为［，］. 说明：也可整理成 观察之≤ｅ≤