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§2-3 微分法·二阶导数和二阶微分 求函数的微分或导数的方法称为微分法。要是每次求一个函数的微分或导数时，都按照定义去做一遍，这不仅麻烦，而且有时根本行不通。莱布尼茨为如何求初等函数的微分和导数，设计出了一个切实可行的方案：先列出一些求微分和导数的一般规则；再列出一些简单初等函数的微分和导数的公式。求初等函数的微分或导数时，按照给出的规则和公式，一步一步往下做就行了。 1.四则运算规则 若函数和在点都可微分，则 ⑴, （为常数）； ⑵, ； ⑶, ； ⑷, . 证 读者已经知道，可微与可导是等价的.因此，先证可微或先证可导是一样的. 规则⑴和⑵的证明是简单的，譬如证⑵.因为函数和在点都可微分，根据式（2-1）,则 因此， 注意，其中.根据式(2-1)，函数在点也可微分，而 （微分）， （导数）. 规则⑴和⑵说明，微分运算和导数运算都是线性运算，即 其中和都是常数. 规则⑶和⑷的证明要麻烦一点.据说，莱布尼茨花了一周时间才得出规则⑶[当然，他用的不是我们现在用的方法].注意，下面又换了一种证法，即先证可导（当然也可先证可微）.为证规则⑶，首先注意，根据函数在点的可微性，且可微必连续，则得 其次，因为 所以 因此，函数乘积的导数为 [注意，] 在两端同乘，则函数乘积的微分为 为证规则⑷，下面分成两步.我们首先证明函数在点可导.事实上，因为 所以函数的导数为 其次，根据规则⑶，函数在点也可导，且导数为 而微分为 例9 证明：；. 证 根据商的微分规则和例7（§2-1）， 从而，导数为 例10 . 同理， . 请你计算： 答案：； . 习题一 1.根据微分规则，求下列函数在指定点的微分或导数： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹. 答案：⑴；⑵；⑶； ⑷；⑸；⑹. 2.填空： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹； ⑺； ⑻. 答案：⑴；⑵；⑶；⑷； ⑸；⑹； ⑺；⑻. 3.求下列函数的微分或导数（根据你的习惯，先求微分或先求导数都可以）： ⑴； ⑵； ⑶； ⑷； ⑸； ⑹. 答案：⑴；⑵； ⑶；⑷； ⑸；⑹. 4.设函数、、都可微分.证明： 提示：. 5.设有球形薄壳，外半径为，厚度为. 求薄壳的体积近似值. 答案： 2.链式规则 函数虽然简单，但用上面的规则求不出它的微分或导数.因此，我们还需要一个求微分和导数的规则，即链式规则.函数之间的运算，除了加、减、乘、除外，还有一种复合运算（见§1-3）.例如，上面那个函数是由函数 和 复合而成的复合函数，其中为外函数，为内函数或中间变数. 链式规则 若内函数在点可微分，且外函数在点可微分，则复合函数在点也可微分，且微分为 (2-4) 而导数为 (2-5) 证 设自变量有增量，则中间变量就有增量 [于是] 而复合函数的增量 [因为可微分] [因为可微分] [注意，；（见下注）] 因此，复合函数在点可微分，而且 (微分)， (导数). 【注】因为 ，所以. 现在，我们可以很容易地求出函数的微分和导数.因为 所以微分和导数依次为 ， . 链式规则就像“锁链”一样，通过中间变量求出了复合函数的微分和导数.正确地运用这个规则是能够求出复合函数微分和导数的关键.读者只有多做习题，才能够熟练地掌握它. 例11 证明： (其中为整数，为正整数). 证 令，则. 根据链式规则， ， . 【注】对于有理指数的幂函数，我们已经得到上述微分和导数的公式.它实际上对于一般幂函数也成立，因为根据链式规则和对数函数的微分公式， 于是又有导数公式 同理，还有一般指数函数的微分公式和导数公式： ， . 例12 求函数的微分和导数. 解 若不用链式规则，就要先把它按牛顿二项式公式展开成101项之和，再用四则运算规则求它的微分和导数.这显然太麻烦了! 若用链式规则的话，就能够很容易地求出它的微分和导数.令，则,于是， ， . 例13 设函数(为常数).求它在点的微分和导数. 解 先求微分或先求导数都可以.譬如先求微分，根据商的微分规则， 其中 所以， ， . 于是，微分，而导数. 习题二 1.填空： ⑴；