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第十二章 数项级数 §12.1 级数的收敛性 教学目标：掌握数项级数收敛性的定义和收敛级数的性质 教学内容：数项级数收敛性的定义和基本性质；等比级数；调和级数． (1) 基本要求：掌握数项级数收敛性的定义和基本性质，等比级数，调和级数． (2) 较高要求：应用柯西收敛准则判别级数的敛散性． 教学建议： (1)要求学生必须理解和掌握数项级数收敛性的定义和基本性质；掌握等比级数与调和级数的敛散性． (2) 应用柯西收敛准则判别级数的敛散性是一个难点，对较好的学生可提出相应要求 教学程序： 一、级数概念 在初等数学中，我们知道：任意有限个实数相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论——无限多个实数相加——级数——所可能出现的情形及特征。如 从直观上可知，其和为1。 又如， 。 其和无意义； 若将其改写为： 则其和为：0； 若写为： 则和为：1。（其结果完全不同）。 问题：无限多个实数相加是否存在和； 如果存在，和等于什么。 定义1、 给定一个数列，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式 （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中称为级数（1）的通项。 级数（1）简记为：，或 。 二、级数的收敛性 记 称之为级数的第个部分和，简称部分和。 定义2、 若数项级数的部分和数列收敛于S（即），则称数项级 数收敛 ，称S为数项级数的和，记作 =。 若部分和数列发散，则称数项级数发散。 例1、试讨论等比级数（几何级数） ， 的收敛性。 解：见P2。 例2、讨论级数 的收敛性。 解：见P2。 三、收敛级数的性质 由于级数的敛散性是由它的部分和数列来确定的，因而也可以认为数项级数是数列的另一表现形式。反之，对于任意的数列，总可视其为数项级数 的部分和数列，此时数列与级数有 相同的敛散性，因此，有 定理1（级数收敛的Cauchy准则） 级数（1）收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数，使得当以及对任意的正整数，都有 。 注：级数（1）发散的充要条件是：存在某个，对任何正整数N，总存在正整数 ，有 。 推论（必要条件） 若级数（1）收敛，则 。 注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。 例3、讨论调和级数 的敛散性。 解：显然，有 ，但当令 时，有 。 因此，取，对任何正整数N，只要和就有 ， 故调和级数发散。 例4、应用级数收敛的柯西准则证明级数 收敛。 证明：由于 = 。 故对，取，使当及对任何正整数，都有 。 故级数 收敛。 定理2 若级数与都有收敛，则对任意常数，级数也收敛，且 。 即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。 定理3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性。 （即级数的敛散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的）。 若级数收敛，设其和为S，则级数 也收敛，且其和为 。并称为级数的第个余项（简称余项），它代表用代替S时所产生的误差。 定理4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛（即去括号法则不成立）。 如： 收敛，而级数 是发散的。 作业： P5；1,2,3,4,5,6,7. 《数学分析》教案 第十二章 数项级数 武汉科技学院理学院 1