§最简原函数表分项积分法.docVIP

§3-2 最简原函数表·分项积分法 为了求积分，根据牛顿-莱布尼茨公式，需要求原函数.求原函数的方法称为积分法.像微分法那样，莱布尼茨为积分法也设计出了一个方案： 列出少数几个求原函数的规则和公式.求原函数时，按照规则和公式做就行了. 为了求原函数，莱布尼茨当初用记号作为微分运算符号的逆运算符号，并用表示函数的原函数.因此， ， [与接连运算相互抵消] 例如，因为 所以 而且，牛顿-莱布尼茨公式也可以写成 例如， 即图3-6中那个图形面积的代数和为. 但是它的 真正面积应当是 （单位平方） 【注释】在口语中，我们也把称为函数的“积分”（它实际上是函数）.为了把 与 在名称上区别开来，近代微积分中称前者为定积分，而称后者为不定积分(在本书中把它看作原函数的同义词（*）).读者已经知道，函数在某区间上的任意两个原函数只能相差一个常数，因此，若是函数在某区间上的任意一个原函数，则它在该区间上原函数的一般表示为 （其中为待定常数） 但是为了演算简单起见，在积分法中常用表示某一个原函数（即可以不加那个待定常数）. 1.最简原函数表 下面这些求原函数的公式，都是从简单初等函数的微分公式倒推(反演)出来的，要验证它们就将右端再微分(还原). ⑴ (为常数) ⑵ 特别, , , ⑶ （见下注1） ⑷ . 特别， ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ , 一般地， ⑽ ， 一般地， 【注1】 【注2】第一，为简单起见，按照我们的约定，在求原函数过程中可以不加待定常数(需要时，在最后的结果中再另加一个常数)；第二，因为函数与表示自变量的字母无关，所以上述公式中的自变量可以换成任何一个字母.例如， ， ， 但是不要写成.为了避免这种书写错误，近代微积分中有著者用表示函数的原函数.例如，等等.但是，这种记号失去了莱布尼茨所用记号的巧妙性！ 【注3】再次强调指出，求原函数时，求出的原函数有可能不相同.例如 或 这两个答案都是对的，因为原函数不是唯一的.要验证你的结果，就对你的结果再求微分.例如 因此，不能由此得出结论：！实际上，.因此，在求原函数的运算过程中，其中的等号是在不计常数被加项意义下的“相等”.这又是变量数学与常量数学的区别！ 请你将右端求微分或导数，验证下面的结果都是对的： ； ； . 2.分项积分法 求原函数时，除了上面那些积分公式外，还有求原函数的几条规则.首先是求原函数的线性运算规则： (Ⅰ) (为常数) (齐次性) (Ⅱ) (可加性) 可把它们一并写成 其中都是常数.要证明它也很容易，只要把右端再求微分就行了，即 （d与∫接连运算相互抵消） 先用求原函数的线性运算规则 最后再套用上述积分公式求原函数的方法，称为分项积分法. 例1 (可加性和齐次性) (套用积分公式) (化简) 【注意】按照我们的约定，在演算的最后结果中加不加待定常数都可以.至于什么情形下要加待定常数，我们稍后就说明. 例2 设在平面上，有一条通过点的曲线，其上每一点处切线的斜率等于该点横坐标的二倍.求曲线. 解 根据题意和导数的几何解释，则有. 因此， 其中为待定常数.因为曲线通过点， 把代入得，所以要求 的曲线为（图3-7）. 【注意】假如是为了利用牛顿-莱布尼茨公式计算积分，求原函数时可以不加那个待定常数.但是，你若是求原函数的一般表示，就必须在求出的一个原函数后面加上一个待定常数.上面的解法中，先是求原函数的一般表示，所以在一个原函数后面要加上待定常数.然后，根据题中其它条件确定这个待定常数. 例3 设在区间上，函数有原函数，函数有原函数.证明定积分的线性运算规则： 证 因为 所以，是的原函数.根据牛顿-莱布尼茨公式，则有 总结：分项积分法的运算规则是 (不定积分)； (定积分). 根据提示做习题 1.用分项积分法，求原函数： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ ⑼ ⑽ 答案：⑴；⑵；⑶； ⑷；⑸；⑹；⑺； ⑻；⑼；⑽. 2.根据牛顿─莱布尼茨公式，计算出积分值： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻ 答案：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹；⑺；⑻. 3.求下列图形的面积(先画出草图): ⑴ 由直线和抛物线围成的图形； ⑵ 由抛物线和围成的图形； ⑶ 由直线和三次抛物线围成的图形(注意对称性). 答案：⑴；⑵；⑶. （*）[俄]辛钦在名著《数学分析简明教程》中就不用“不定积分”这个术语，始终称它为原函数。 110 第3章 牛顿-莱布尼茨积分和积分法 111 §3-2 最简原函数表·分项积分法