§次函数与元次不等式.docVIP

§2.3　二次函数与一元二次不等式 预备知识 (一元二次方程的解法 (二次函数的图象 (乘积的符号法则 (因式分解 重点 (解一元二次不等式 (求数集的并集 难点 (求一元二次不等式的解集 学习要求 (掌握一元二次不等式的求解方法，能结合二次函数 图象求一元二次不等式的解集 　　在前两节，出现在不等式中的变量总是一次的．但在客观实际中有很多问题，必须要用到含有变量二次方的不等式．这类不等式就是本节要学习的内容――一元二次不等式．为了表示这种不等式的解集，你还将学习集合的并集的概念． 　　1. 一元二次不等式 　　(1)一元二次方程 在初中你已经学习过一元二次方程 　　ax2+bx+c=0　(a(0)．　　　　　　(2-3-1) 它的解集是由满足(2-3-1)的全部x构成――你不要觉得这种说法很新奇，本质上就是那么一回事．我们已经知道，满足(2-3-1)的x称为一元二次方程(2-3-1)的根，因此(2-3-1)的解集是由(2-3-1)的根组成，所谓解方程(2-3-1)，实际上就是求它的解集，也就是求出它的全部根． 　　(2-3-1)有没有根、有几个根，取决于判别式 　　　　(=b2-4ac 的符号： 　 ( (2-3-1)有两个相异实根 　　　　x1=(-b+)，x2=(-b-)， 　 (方程(2-3-1)的解集是{x1, x2}； ( (2-3-1)有两个相同重根 x1= x2=， 　　(方程(2-3-1)的解集是{x1 }； ( (2-3-1)没有实根， 　　(方程(2-3-1)的解集是空集(． (2)二次函数 在初中你还学过与二次方程密切相关的二次函数 　　y=ax2+bx+c　(a(0)　　　　　　　(2-3-2) 对右端的二次三项式ax2+bx+c作配方，可得 　　y=a(x+)2－=a(x+)2-， 因此它的图象是一条顶点在(-,-)的抛物线，并且当a0时开口向上，a0时开口向下．这样它的图象总共只有六种可能情况，在a0时的三种情况的示意图如图2-5： 　　①(0 ②(=0 ③(0 在a0的时类似地也有三种情况，你可以自己试绘一下它们的示意图． 从示意图2-5，你立即可以准确地填充下面的空格(在位置关系空格内，你可以选相交、相切或相离)： 当(=b2-4ac0时，(2-3-2)的图象与x轴的位置关系是　　　　　，图象与x轴有　　个交点； 当(=b2-4ac=0时，(2-3-2)的图象与x轴的位置关系是　　　　　，图象与x轴有　　个交点； 当(=b2-4ac0时，(2-3-2)的图象与x轴的位置关系是　　　　　，图象与x轴有　　个交点． 把二次函数(2-3-2)与一元二次方程(2-3-1)关联起来看，你可以发现，其实，(2-3-1)的根就是使函数(2-3-2)等于零的点――称为函数的零点，也就是(2-3-2)的图象与x轴交点的横坐标，因此(2-3-1)的解集也就是(2-3-2)的图象与x轴交点的横坐标所构成的数集．这样可以从图象中，直观地得到关于一元二次方程存在根的结论． (3)一元二次不等式 一元二次方程反映数量相等关系．我们来看一个实例．人口控制是我国的一项基本国策，今年我国的人口是A=13亿；设年出生率是x，年死亡率是2‰，则实际增长率为x-0.002，那么明年我国的人口总数将是 　　　　B=A(1+x-0.002)=13(x+0.998) =13x+12.974(亿)， 后年我国的人口总数将是 　　　　y=B(x+0.998)=(13x+12.974)(x+0.998) 即　　 y=13x2+25.948x+12.948052(亿)　 (2-3-3) 计划生育通过控制x来控制人口y的增长．如果要求后年人口是13.1亿，那么(2-3-3)给出一个等量关系 　　　　13.1=13x2+25.948x+12.948052 即　　　13x2+25.948x-0.151948=0， 这表明，为了使后年人口正好是13.1亿，出生率x应该满足一个一元二次方程． 如果要求后年的总人口不要超过13.1亿，那么从(2-3-3)得到的将是一个不等式 　　13x2+25.948x+12.948052(13.1， 即　　　13x2+25.948x-0.151948(0　　　　(2-3-4) 我们的任务也就是求出不等式(2-3-4)的解集． (2-3-4)与你以前接触到的不等式相比，式中的变量x虽然只有一个，但它是二次方．我们称它为一元二次不等式． 一般地，如果不是要求二次函数(2-3-2)的函数值等于某个量，而是要求它小于(或大于,或不小于,或不大于)某个量，就会遇到一元