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班级：12统计 姓名：龚伟 学号:120314103 高阶线性微分方程 线性微分方程及其解的结构 1 线性微分方程 定义4.1 形如 的方程称为阶线性微分方程，其中是已知函数。 注：(1) 特点：都是一次的；从而称为线性方程。 (2) 时，称为阶线性齐次微分方程； 否则，称为阶线性非齐次微分方程。 (3) 特别地，当时， (4.1) 称为二阶线性微分方程。 时，有， (4.2) 称为二阶线性齐次微分方程；否则，称为二阶线性非齐次微分方程。 2 线性微分方程解的结构 定理（解的叠加性) 如果函数与是方程(4.2)的两个解，那么也是方程(4.2)的解，其中与是任意常数。 验证：因为 是方程(4.2)的解，所以 ，。 将解代入方程(4.2)的左端，得 = 。 问题 与是(4.2)的解，由定理1，也是(4.2)的解。那么，是不是可以作为通解呢？回答 不一定。 例如 设有方程 （是二阶线性齐次微分方程）。 (4.3) 一方面，由观察知 与都是(4.3)的解，由叠加原理知也是(4.3)的解，但因为==， 只有一个任意常数，所以，它不是(4.3)的通解。 另一方面，由观察知 与都是(4.3)的解，由叠加原理知，也是(4.3)的解，此时与是两个独立的变量，所以是(4.3)的通解。 事实上，在此例中，由与得是常量，知与线性相关；而与之比不是常量，即与线性无关。 定义4.2 设有函数组，。若存在不全为零的常数，使得，则称这个函数组在内线性相关，否则称线性无关。 函数组在内是线性相关的。 证 取，则对于任意，有。 注： 特别地，对于两个函数与来说，由定义1知： ⑴ 若在内有常数，则与在内线性无关； ⑵ 否则，与在内线性相关。 例如，；；哪组线性无关？ 答：因常数。函数对对线性无关； 因常数。函数对对线性无关； 因=常数。函数对对线性相关。 以下给出关于二阶线性齐次微分方程(4.2)的通解结构定理。 定理4.2(二阶线性齐次微分方程的解的结构定理) 如果函数与是方程(4.2)的两个线性无关的特解，则（是任意常数）就是方程(4.2)的通解。 验证=与=是二阶线性齐次微分方程的两个解；写出其通解。 解 将=与=代入方程可验证其是解。 由常数，即与线性无关。所以，由定理4.2，是的通解。 关于二阶线性非齐次微分方程的解的结构，先回忆一阶线性非齐次微分方程 ，它的通解的结构是 ， 其中， 为方程对应的齐次微分方程的通解，为方程的一个特解。 对于二阶及二阶以上的线性齐次微分方程，也有同样的解的结构。下面来讨论二阶线性非齐次微分方程(4.1)的解的结构。 定理4.3(二阶线性非齐次微分方程的解的结构定理) 设是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的一个特解，是对应的二阶线性齐次微分方程(4.1)的通解，那么，是二阶线性非齐次微分方程(4.1)的通解。 证 将代入方程(4.1)的左端，并因为与，得 =。 由于是方程(4.2)的解，知； 由于是方程(4.1)的解，知。 于是，左边右边，并注意到是(4.1)的通解，其中含有两个任意常数，于是中含有两个任意常数，所以它是方程(4.1)的通解。 方程是二阶线性非齐次微分方程。 由例4.2知 是对应的二阶线性齐次微分方程的通解； 又容易验证是所上给方程的一个特解，因此 是所以给方程的通解。 关于二阶线性非齐次微分方程(4.1)的特解，有如下的定理。 定理4.4 设二阶线性非齐次微分方程(4.1)的右端是几个函数之和，如， (4.4) 而与分别是方程 与 的特解，那么+就是原方程(4.4)的特解。 证 将+代入方程(4.4)的左端，得 （+++++ =+=。 因此，与是方程(4.4)的一个特解。 4.2 常系数齐次线性微分方程 求线性微分方程的通解，一般来说是很复杂的。现在，只讨论二阶常系数齐次与非齐次线性微分方程的求解问题。 1 二阶常系数齐次线性微分方程 定义4.3 形如 ，（其中为常数） (4.5) 例如 ，，，都是二阶常系数齐次线性微分方程； 不是二阶常系数齐次线性微分方程（因不是齐次）。 2 求解方法 ⑴ 求解基本思想 由齐次线性微分方程通解结构定理，，关键是求出(4.5)的两个线性无关的特解； 由(4.5)的“线性”“齐次”“常系数”特点，可以不用积分，而采用代数方法，就能得到这样的，从而，进一步写出(4.5)的通解。