——学学期应用随机过程试卷(修正版).docVIP

安徽大学2010—2011学年第二学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A卷） （闭卷 时间120分钟） 院/系 年级 __专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 总分 得 分 一、填空题（每小题4分，共24分） 1、设是概率空间上的一个随机变量，且存在， 是的子－域，定义如下： ________________ ； ________________________________________ ； 在全数学期望公式中，取＝____，＝ ____，即得连续型（广义）全概率公式___________________； 3、设是强度为的Poisson过程，则具有_____、 _____增量，且，充分小，有：＝ ________，＝_____________； 4、设是强度为的Poisson过程，、分别为其时间间隔序列和等待时间序列，则独立同参数为的指数分布， ______， _______， _____________________________________； 5、设为一维标准Brown运动，则，____， 且与Brown运动有关的三个随机过程____________、_____ ______________、______________都是鞅（过程）； 6、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 __________________________________________________。 二、证明分析题（共15分，选做一题） 1、设是概率空间上的非负随机变量，假定具有密度函数满足：。设是严格递增的可微函数，并满足：，，定义随机变量；设是满足的任一非负函数。我们希望改变概率测度，使得是随机变量的密度函数。为此，定义：，（1）证明随机变量是非负的且；（2）定义：，则随机变量在下具有密度； 2、设是概率空间上的Brown运动，是Brown运动的域流；设是一个适应过程，定义：，，，并且假设：；令，则；且在概率测度下，过程是一个Brown运动。 三、计算证明题（共46分） 1、（12分）假设，给定，试分别由指数分布的无记忆性、条件密度和，求； 2、（10分）设独立同分布，，试分别由条件数学期望的直观方法和条件数学期望的一般定义求； 3、（6分）乘客按每分钟2人的Poisson流到达车站候车，公交车每5分钟到达一辆，用表示时间内到达的乘客的候车时间之和；当时有车到达，试求； 4、（8分）设质点做一维标准Brown运动，，则，（1）“质点最终到达”的概率为1；（2）质点到达的平均时间是； 5、（10分，选做一题）（1）设表示下的一维标准Brown运动，定义：，利用Ito-Doeblin公式写出满足的随机微分方程，由此求出满足的常微分方程，并通过求解其来证明：； （2）设为标准Brown运动，试由Ito-Doeblin公式求解随机微分方程 ， 并求 。 四、应用分析题（共15分，选做一题） （1）设股价遵循几何布朗运动，利率为常数。定义风险的市场价格为：以及状态价格密度过程为：；a）证明： ；b）设表示投资者采用组合过程时其资产组合的价值（自融资组合），即有： ，证明：是鞅；c）设是固定的终端时刻，证明：如果投资者从初始资本出发，希望在时刻资产组合价值为，其中为－可测随机变量，则其初始资本必为：； （2）试从对冲欧式看涨期权空头的角度导出原生资产遵循几何布朗运动的欧式看涨期权价值的Black-Scholes-Merton偏微分方程，并给出风险中性测度下的定价公式。 1 得分 得分 得分 得分