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“有限元法基础及应用”补充讲义 一、弹簧单元与弹簧系统 弹簧单元分析 1）单元描述 弹性系统受力平衡时，从中隔离出一个典型弹簧单元进行分析。 单元节点编号： 节点位移（基本未知量）： 单元节点力（单元在节点处受到的作用力）： 已知弹簧的物理特性： 其中： 2）建立弹簧单元的有限元特性方程 考虑弹簧元在系统中变形平衡时的条件：力平衡条件和弹簧物理特性，得到下列方程： 写成矩阵形式： 上式的矩阵符号形式为： 方程（1-2）或（1-3）称为弹簧单元的刚度方程，反映了单元特性，即节点力~节点位移之间的关系。 式（1-3）中： 3）弹簧单元刚度方程的讨论 a. 对称、奇异、主对角元素恒正。 b. 刚度矩阵元素的大小等于弹簧刚度。 从对方程（1-2）分析的分析可以看出，矩阵中某列的各元素代表列序号对应节点有单位位移，其它节点位移为零时，单元各节点上的节点力；某行的各元素分别是单元各节点的位移对行序号对应节点的节点力贡献系数。 因此，矩阵中任意一个元素的物理意义是：节点的位移对节点的节点力贡献系数，或者节点有单位位移，其他节点位移为零时，节点上的节点力。 c. 单元刚度方程可以求解吗？为什么？ 不可以。单元刚度方程仅仅表征一个单元的力学特性，单元水平上无法确定单元节点位移。只有把系统中所有单元特性集成后，在系统水平上才可能求出所有未知位移和反力。单元水平上，若已知单元的节点位移，可由刚度方程求出所有单元节点力分量。若节点力已知，单元节点位移不能确定，单元可作刚体运动。这也是单元刚度矩阵奇异性的物理解释。 2、弹簧系统整体分析求解 1）建立系统节点平衡方程 以右图的一个弹簧系统为例，研究如何由单元特性集成系统特性并建立对系统进行求解的控制方程。 由前面得到的弹簧单元的刚度方程公式（1-2），分别写出2个弹簧单元的特性方程如下： 单元1 单元2 （注：右端节点力分量的下标为单元节点的局部编号，上标是单元编号） 下面用两种方法装配单元特性、建立系统控制方程，并在特定条件下求解。 （1）由系统中节点平衡条件导出： 系统处于平衡时，考虑各节点（1，2，3节点）的平衡条件： 由于节点受到的外载荷与节点受到与其连接的所有单元对其作用力（单元节点力的反作用力）之和等于零。因此有下列（节点）平衡方程（组）： 把单元特性（1-4），（1-5）代入（1-6）得到： 写成矩阵形式： 或矩阵符号形式： 方程（1-8），（1-9）是系统节点平衡方程，该方程建立了离散系统的外载荷与节点位移之间的关系，是求解节点位移的控制方程。 方程（1-9）中： ——弹簧系统的结构总刚度矩阵 ——系统节点位移列阵 ——系统节点载荷列阵 讨论： a．K 有那些特点和性质？ b．上述方程能求解吗？ （2）由单元刚度方程叠加导出 将单元1，2的刚度方程（1-4），（1-5）进行增广（扩大到系统规模）： 注意对单元刚度方程扩大规模并不改变其表达的关系。 将上述两个方程叠加，得到： 将系统中节点的力平衡条件（1-6）代入上式，就得到与（1-8）相同的系统节点平衡方程。 上述两种建立系统平衡方程的方法都考虑了1）单元特性集成；2）系统中节点外载荷与系统的节点力（系统内力）的平衡。因此方程（1-8）的本质是系统中所有节点的力平衡关系，其左边是由节点位移表示的系统节点力，右边是节点所受外载荷。不难发现，系统总刚度矩阵可以直接由单元刚度矩阵扩大后叠加而得到。总刚度矩阵元素的含义可以由方程（1-12）分析出。 2）系统平衡方程求解 假如边界条件为： 则节点平衡方程（1-8）化为： 将该方程展开为两部分。第2，3个方程变化为： 第1个方程变化为： 先后解方程（1-15）、（1-16）得： 从而解出了系统的未知位移和未知反力，并可以进一步求弹簧力。 3、例题 图示一个3弹簧的系统。 求： （a） 系统总刚度矩阵 （b） 节点2，3的位移 （c） 节点1、4的反力 （d） 弹簧2中的力 解： （a）分别写出各单元刚度矩阵： 参照方程（1-10）、（1-11）中单元刚度矩阵的扩大，用叠加法直接得到系统总刚度矩阵： 该总刚度矩阵的特点：对称性、奇异性、稀疏、非零元素沿主对角线呈带状分布。 （b）参考方程（1-8），利用求出的总刚度矩阵，写出系统节点平衡方程： 考虑到位移边界条件： 则平衡方程组（1-19）第2，3方程化为： 求解上式得： （c）由（1-19）的方程1，4得1，4节点的反力： （d）弹簧2内力为： 4、练习题 二、杆单元 目标：通过杆单元特性方程的建立，初步掌握有限元法单元分析的过程和