“用分法求方程的近似解”教案.docVIP

“用二分法求方程的近似解”教案 一、目标1．让学生掌握二分法，并能计算器用二分法求方程的近似解2．培养和加强数形结合思想的运用、重点通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数的零点与方程根的联系，初步形成用函数的观点处理问题的意识难点方程近似解精度、教学【问题１】求方程的实根． 【解析】由配方可得，所以． 【问题２】解方程． 教师：方程左边无法配方，所以我们暂时还无法解此方程．以前数学家也有像解一元二次方程那样去寻找一元三次方程的求根公式，但因其推导过程比较复杂且公式不易记忆，所以中学课本　　　　　图1 一般都不作介绍．当然，我们现在可以利用几何画板来求解．在几何画板上绘出函数的图象，在图象上选取一个点并度量其横坐标以及纵坐标．当移动该点时，函数值就会相应地改变．当函数值为0或接近0时，这个横坐标的值（0.67066）就是此方程的（近似）解（见图1）． 学生：这方法简单，又易操作，很好！ 教师：此法虽简单，但其精度无法估算．能否寻找一种比较通用的、特别是可以利用程序让计算机自动求解的其它方法呢？ 【问题３】孔子（前551－前479），名丘，字仲尼，鲁国人．中国春秋末期伟大的思想家和教育家，儒家学派的创始人．全世界300万姓孔的人都可能被认为是孔子的后代．此方程现在我们也无法解．类似地，我们用几何画板先绘出函数的图　　　　　　　图2 象，然后利用度量功能，估算出当函数值等于或接近3000000时方程的近似解（见图2）．由于指数太大，曲线几乎是垂直上升，所以操作起来很不方便．为了使移动点更方便些，也可把点选在x轴上，而不是在曲线上，然后再计算其函数值． 一般地，高于4次的一元高次方程就不再有求根公式可寻了，（有兴趣的学生可以自己去阅读有关高次方程解的书籍或上网查找相关的网页）这就更加使得寻找一种新的求解方程方法的必要．（利用二分法解此方程，可得个） ２．新课引入（旨在引导学生怎样寻求一种恰当的方法——怎么样） 【问题１】人们常说“天下乌鸦一般黑”，如果有人对此有怀疑，想要否定它，他该如何做？ 教师：当结论只有成立或不成立两种情形时，可用反证法．譬如，我们找到了一只或几只（换句话说就是至少有一只）白乌鸦，那么就可以否定“天下乌鸦一般黑”． 【问题２】当电灯不亮的时候，若要寻找原因，我们是如何做的？ 教师：我们一般会检查电灯或开关是否坏了，抑或是保险丝烧了、外部线路坏了，等等．如果是外部线路坏了，而线路又很长（譬如几千米甚至几十千米以上），我们要进一步确定线路究竟坏在那里时，一般有经验的电工总是先根据停电的范围来确定断路的可能区间，再采用对分法来逐段排除，从而很快地找到线路究竟坏在何处．这种方法叫做分类归缪法． 引导：解决问题的途径一般有两种，一是从已知条件→结论（演绎推理），二是从问题的结论→已知信息→与已知条件矛盾．后一种方法又常采用归缪法，它又可细分为：（１）反证法．当结论只有成立或不成立两种情形时．譬如，我们要说明平面内两条直线的位置关系——平行或相交时，即可用反证法．譬如，两直线不相交，它们就必平行；反之，如果它们不平行，它们就必相交．（２）选择法．供选择的结论不多． 【例】下列那一项是三次方程的解？ A．－2　　B．－5　　C．4　　D．3　 （３）分类归缪法．供选择的结论很多．譬如，要证明有关三角形的某个定理，我们并不是对每个三角形进行论证的，而是分别从锐角三角形、直角三角形以及钝角三角形等三种情形加以证明． 思考：分类归缪法与方程的解有关系吗？（类比法难在要找出似乎毫无关联的两类事物之间的相同之处） 引导：从前一节我们了解了方程的根与函数零点的关系，事实上，零点就是对应方程的实根，它是方程的精确解．但在实际问题中，这个解一般不易求出，在应用上，我们更多地是求满足一定精确度的近似解．很显然，要找到零点，就像电工师傅一样，可用分类归缪法来寻找，即在一个单调区间内，若两端点处的函数值同号，那么区间内对应方程必定无实根；反之，若两端点处的函数值异号，那么区间内对应方程必定有一实根（为方便起见，一般取其中点作为近似解）．通过逐个排除，从而逐渐缩小区间的范围，直到找出满足精确度的近似解．为了便于计算机计算，在求方程的近似解时，可采用二分法．（其实，如果我们借助几何画板寻找零点时就不一定要用二分法） ３．新课（怎么做） 让学生陈述课前预习时所掌握的二分法的原理以及解题步骤．教师在黑板上作纪录，并逐步补充完整． 注意：（１）从几何上看，求方程的解其实是找相应函数图象与x轴交点或两个函数图象交点的横坐标，而二分法并不是直接寻找交点，而是寻找函数值变号的一个尽可能小的区间中的某个值； （２）求方程的近似解时，精确解（m）是未知的．当相邻两个近似解满足时，由，说明精确解介于和之间，故有或，所以和都已满足精确度，均可作为近似解．所以通过