《信号与系统分析》.docVIP

第四章 离散傅里叶变换与快速傅里叶变换 4.1概述 为了利用计算机计算傅里叶变换，信号和频谱应是离散的，长度也应是有限的，本章介绍的离散傅里叶变换（DFT），是由傅里叶变换发展而来的一种离散信号的处理方法，它在理论上解决了利用计算机进行傅里叶变换的问题。 本章介绍的快速傅里叶变换（FFT），是1965年由两位工程师提出的，它是DFT的快速算法，在工程领域得到广泛的应用。 4.2 离散傅里叶变换 第三章中指出，任意一个满足狄里赫利条件的周期信号，可分解为如下三角级数形式： 其复指数形式为 为讨论方便，上式改写为 （1） 其中 （2） 从上述两式中，可导出周期序列的离散傅里叶级数如下 设为周期信号的抽样序列，即，为抽样周期或抽样间隔，且有，于是式（1）为 （3） 式（3）两边同乘，再取和式，则有 （4） 其中 (4)式为 （5） 也是一个周期序列，成为离散傅里叶级数，与傅里叶级数中的复因子相差一个因子。 将式（5）两边同乘，再取和式，注意到 则有 （6） （5）、（6）两式构成离散傅里叶级数（DFS）变换对。DFS表明离散周期序列所对应的离散傅里叶级数也是离散周期的，周期也为。实际工作中，对任意有限长序列分析时，可将该序列视为一个周期序列的主值区间序列，可利用DFS计算该周期序列的一个周期也就是计算出有限长序列，此时，对该任意有限长序列所进行的DFS变换称为DFT变换。 为计算方便，记，于是（5）、（6）两式为 （7） （8） 以上两种形式也可以用矩阵的形式表现出来。 例1 利用DFT的矩阵表达式求4点序列的离散傅里叶变换。 解： 由得，于是 例2 已知，求的离散傅里叶逆变换。 解：由得，于是 4.3 离散傅里叶变换的性质 1. 线性特性 设有限长序列与的线性组合为 ，为常数，则 （9） 注意：上述两个有限长序列长度一致时，式（9）成立。若长度不一致，则通过将较短序列补充若干个0，使之长度与另一序列长度一致，方可使用式（9）。 2.圆周位移特性 (1)圆周时移特性 圆周时移指长度为的序列，以为周期进行周期延拓生成，位移位后，所得序列。取其主值区间所得序列，见图4-1。 图4-1 序列圆周时移 与的关系为 为整数 且 取矩型窗序列 于是 为方便，记 设 （周期，为整数，且），则。 或表示被相除得到整数商后的余数。 定理1：若，则 （10） （2）圆周频移特性 定理2：若，则 （11） 3.圆周卷积特性 （1）时域圆周卷积特性 两个序列的时域圆周卷积定义如下 （12） 要求与序列长度均为 例3 已知两个有限长序列（） 试用图解方法求圆周卷积。 解：将与的自变量用替代 (b) (d) (f) 于是由 得 (g) 图4-2 有限长序列的圆周卷积 线卷积与圆周卷积 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位移 线卷积不要求两序列长度一致。如果 与的长度分别为与，则 *的长度为。 圆周卷积要求两序列长度一致。如果 与的长度分别为，则 的长度为 （3）如果要求与的线卷积和圆周卷积结果相同，则应给与补零，使得补零后两序列长度 圆周卷积定理 （1）时域圆周卷积定理 设 ， 且 于是 （13） （2）频域圆周卷积定理 设 ， 则