《信号分析与处理》备课教案.docVIP

6.5. 离散系统的Z域分析 Z变换在离散时间系统的分析中获得了广泛的应用，其中基于Z变换方法的离散系统Z域分析内容十分丰富。以下对差分方程的Z域解法，离散系统的系统函数，以及利用的零极点分布进行离散系统的稳定性分析进行阐述。 一、利用Z变换方法求解差分方程 差分方程有时域和Z域两种解法，通常采用Z变换方法进行求解比较简便。Z变换法解差分方程的过程可分两步：先将差分方程两边取Z变换，利用位移性质并代入初始条件，则差分方程变成Z域的代数方程；然后解该代数方程并进行逆变换以得到差分方程的解。为了方便起见，通常采用单边Z变换。 由第二章所学的知识，线性时不变离散系统的差分方程一般形式是 即， （6.5-1） 将上式两边取单边Z变换，并利用Z变换的时移特性可得： （6.5-2） 若激励，即系统处于零输入状态，此时表示系统的差分方程（6.5-1）即成为齐次方程： 而式（6.5-2）也将变成： 于是， （6.5-3） 对求逆Z变换，显然得到的就是系统的零输入响应，即。 该响应是由系统的初始状态，这里而产生的。 若系统的初始状态，这里，即系统处于零初始状态，此时式（6.5-2）变成 如果激励信号为因果序列，则有，因此上式成为： 于是， 令， 则有， 对求逆Z变换，显然得到的就是系统的零状态响应，即。 该响应是在系统的初始状态时，由因果信号的激励而产生的。 其中，就是下面将要讨论的离散系统的“系统函数”。 综合上述两种情况，系统的全响应就等于零输入响应与零状态响应之和，即 例1、若离散系统的差分方程为，其中，。用Z变换方法求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：(1)零输入响应 因为零输入响应是在激励，仅由系统的初始条件而产生的响应，因此原差分方程变为： 对该方程两边取单边Z变换，并由时移特性可得： 所以， 因此， (2)零状态响应 因为零状态响应是在系统的初始条件的情况下，由因果信号激励下产生的响应，因此对原差分方程两边取单边Z变换，结合时移特性并考虑到系统初始条件为零，可得： 所以， 因此， (3)全响应 注意：在上面求和的逆变换而得到和时，虽然表面上似乎没有考虑收敛域的问题，实际是因为和均为响应，因此必然都是因果序列，因此其Z变换收敛域均是针对因果序列而言。 例2、若离散系统的差分方程为: ， 其中,,。用Z变换方法求解系统的零输入响应、零状态响应和全响应。 解：(1)零输入响应 因为激励，即，仅考虑初始条件和，因此原差分方程变为： 对该方程两边取单边Z变换，并由时移特性可得： 将初始条件和代入，并整理得： 因此， (2)零状态响应 在因果信号激励下，系统方程为： 对该差分方程两边取单边Z变换，结合时移特性并考虑到系统初始条件为零，可得： 所以， 因此， (3)全响应 二、离散系统的系统函数 由时域分析已知，系统的零状态响应为激励与系统单位样值响应的卷积，即 将上式两边作Z变换，并利用Z变换的卷积特性可得： 这里，，， 可见， 称为离散时间系统的系统函数，它等于系统零状态响应的Z变换与激励的Z变换之比，同时与互为Z变换对。 对于线性时不变离散系统差分方程的一般形式： 在求解时，考虑到激励为因果序列，而对应与系统的零状态响应则初始条件为零，因此对上式两边取Z变换，则 即， 所以， 例1、求差分方程所描述的离散系统的系统函数和单位样值响应。 解：设系统的初始状态为零，对差分方程两边作Z变换，可得： 所以， 所以， 例2、已知某一离散时间系统的单位样值响应为，设系统的激励输入为，求系统的零状态响应。 解：因为， 即， 又因， 所以， 所以， 例3、某离散时间系统，已知当输入时，其零状态响应为： 求：(1)系统的单位样值响应 (2)描述系统的差分方程 解：(1)由题目所给的条件，可得： 所以， 所以， (2)由的表达式，可以得到： 上式两边同除以，可得： 所以，描述系统的差分方程为 即， 三、系统函数的零极点分布与的关系 在离散时间系统中，由于通过Z变换建立了时间函数与Z域函数之间的转换关系，因此可以从Z变换函数的形式反