《复变函数》习题全解钟玉泉版.docVIP

第二章 解析函数 （一） 1.证明:,使,有,即在的对应去心邻域内无重点,即能够联结割线,是否就存在数列,使,于是有 此与假设矛盾. 因为 所以 因此,割线确实有其极限位置,即曲线在点的切线存在,其倾角为. 2.证明:因在点解析,则均存在. 所以 3.证明: 于是,从而在原点满足条件,但在原点， 当沿时,有 故在原点不可微. 4.证明:(1)当时,即至少有一个不等于0时,或有,,或有,故至多在原点可微. (2)在上处处不满足条件. (3)在上处处不满足条件. (4),除原点外, 在上处处不满足条件. 5.解:(1) ,此时仅当时有 且这四个偏导数在原点连续,故只在原点可微. (2) ,此时仅当这条直线上时有 且在这四个偏导数连续,故只在可微但不解析. (3) ,且 故只在曲线上可微但不解析. (4) 在全平面上有 且在全平面上这四个偏导数连续,故可微且解析. 6.证明:(1) (2)设则，由与均在D内解析知 结合此两式得，故均为常数,故亦为常数. (3)若,则显然,若,则此时有,且,即也时解析函数,由(2)知为常数. (4)设,若,则,由条件得 因此为常数, 则亦为常数. 7.证明：设则由 在D内解析知 从而 因而亦D内解析. 8.解:(1)由,则有 故为连续的,且满足条件,所以在平面上解析,且 (2) 故在z平面上解析，且 (3)由,则有 故为连续的,且满足条件,所以在平面上解析,且 (4)由,则有 故为连续的,且满足条件,所以在平面上解析,且 9.证明:设则 从而 再由，可得，因此可得在点z可微且 10.解:(1) (2) (3) 所以 11.证明:(1)因为 因此 而,得证. (2)因为 所以 (3)因为 所以 12.证明:分别就为正整数,零,负整数的情形证明,仅以正整数为例 当时,等式自然成立. 假设当时,等式成立. 那么当时,,等式任成立. 故结论正确. 13.解:(1) (2) 14.证明:(1)由于在点解析 且 因此 (2)由于在点解析,且 因此 (3)由于在点解析, 且 因此 15.证明： = = ==右边 同理证明(2). 16.证明:(1) (2) (3) (4) (5) (6) 17.证明:(1) (2) (3) 18.证明:(1) (2) (3) (4) 19.证明: 20.解:(1) (2)由于,则有 (3)由于,故 (4),即,所以 (5) 设由得 ， 且 21.证明:因,所以 22.解: , 利用定,再计算 23.解: ,由定,再计算 24.解: 25.解:在平面上沿为圆心,为半径的圆周从走到,经过变换,其象点在平面上沿以为心,为半径的象圆周从走到,刚好绕的支点-1转一整周,故它在的值为.因此 . 26.证明：可能的支点为0，1， 由于 ，故的支点为，因此在将z平面沿实轴从0到期割开后，就可保证变点z不会单绕0或者说转一周，于是在这样割开后的z平面上就可以分出三个单值解析分支. 另由已知 得 . (二) 1.证明:由得，从而于是在D必常数 所以 由于，因此且 故. 2.证明:同第一题 . 3.证明:题目等价域以下命题:设为关于实轴对称的区域,则函数在内解析在内解析. 设在内解析,对任意的,当时,有,所以 这是因为在内解析,从而有,由的任意性可知, 在内解析.