《复变函数》八习题全解钟玉泉版.docVIP

第八章 解析延拓 （一） 1.证明：在区域解析， 由于， 从而 故在内与恒等，故是由向外的解析开拓。 2.证明：首先，在内解析，其次，在内 而在平面上除外解析，所以是由向外开拓的完全解析函数。 3.证明：因 因此及均为完全解析函数的解析元素.又由于包含圆，所以后者是前者向外的解析开拓. 4. 证明：在：内解析，在：， 即：内解析， 而当时 故与互为直接解析开拓 5.证明：由于，所以此级数在内收敛于，而在平面上除与外都解析，而在内，有因此级数是级数越过圆弧解析开拓到内所得的函数. 6. 证明：因， 而 由，得，，在内解析，在上，，为在内的解析开拓. 7. 证明：在内，显然由，对于，则，设，则 这个级数在内收敛于，即在内有而，都包含它们的交集，且在内有，所以与互为直接解析开拓. 8.证明：由于为的奇点 设，为正整数 令 由于为多项式，故存在，而当时．，从而，于是． 因此，当时，，故，亦即上的点为 奇点，又由于点在上处处稠密所以沿半径不能越过单位圆做解析开拓，因而以为自然边界． 9. 证明：因在原点解析，所以在原点也解析，于是可设与在内解析.故在内也解析. 令，则在内解析. 因而在也解析. 令，则在内解析. 如此类推，用归纳法可得在内解析. 这里是任意自然数，故可以开拓到整个复平面上. 10. 解：以0与1为支点，取两张沿割破的平面与. 粘合的上岸与的下岸，并想象的上岸与的下岸粘合. （二） 1. 证明：因 可见，及都是完全解析函数的解析元素，又由于 ，所以，是向外的解析开拓. 2. 证明：在内收敛． 在内收敛． 又 因此，在内，于是与可看作在和 的展开式，故与可以互为解析延． 3. 证明： . 于是和两点都在的收敛域内，因而可在及的邻域内展成泰勒级数.若其和函数为与，则是与的直接解析开拓，而又是在全平面除去外的直接开拓，故与多对应的元素可以从一方解析开拓到另一方. 4．证明：由于在内解析的，令，它把映射为；把映射为.而级数的收敛圆为，且和函数为，所以在内为内闭的一致收敛于，故在内解析. 又由于在平面上除外，处处解析，故可解析开拓到除外的整个平面上. 5. 证明：由题中知 （1） （2） 由教材中例5.4知是级数（2）的自然边界. 下面证也是的自然边界，若否，则上有一小段弧，其上的所有点都是的解析点，从而此小段弧上的点也是的解析点，这与为其自然边界矛盾. 6. 证明：存在含于内的两个区域和，它们分别位于的两侧，并以为公共边界，由班勒卫原理，在内解析，从而在内解析. 7. 证明：因为为整函数，所以在整个复平面解析，且由条件，在实轴上取实值，据唯一性定理，可以把下半平面上的看作上半平面上的由对称原理解析开拓得到，于是下半平面应有 ，即 因此，，从而为实数. 8. 解：（1）因为即与这是两个单值函数，因为其中一个不能借助与解析开拓得到另一个. （2），为支点. 即为双值函数，是支点. （3） 这显然是单值函数. （4）为支点，但. 所以这里没有支点，只是分离的两支，当然不能由一支开拓为另一支，故为两个单值函数与. （5）为支点，即为支点 所以为无穷多值函数. 9. 解：克利斯托费尔－施瓦茨积分取形式 由. 由得 . 即 由此得 所以 10．解：由利斯托费尔－施瓦茨积分取形式 由得 . 又当在上变化，对应的点应在正虚轴的上变化. 取，则对应的应为纯虚数. . (1) . （2） ，再注意到 或的辐角均为，则 . 上式左边为纯虚数，右边也应为纯虚数，故为纯虚数，设为，又因为 所以 比较上式两端实虚部，得到 （3） （4） 由 （3）（4）解出，，所以 故所求保形变换为 .