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《展开与折叠》典型例题 例1 填空 （1）六棱柱有_____个顶点，有_______条侧棱． （2）是_________的表面展开的平面图。 例2 观察下图，请指出哪个图是长方体表面的平面展开图． 例3 请画出一个长、宽、高分别是5cm、4cm、3cm的长方体的平面展开图，并标出各部分的长度． 例4 请你把几何体和它的平面展开图用线连起来。 例5 已知一个正三棱锥，请画出它的展开图． 例6 已知一个正三棱柱，请画出它的平面展开图． 例7 在图中，各图形都是由六个大小相同的正方形拼接而成，它们是否可以折成一个正方体？为什么？ 参考答案 例1分析 （1）通过观察六棱柱可知，六棱柱有12个顶点、有六条侧棱． （2）观察可以发现展开图有六个边长相等的长方形，并且有两个边长和长方形宽相等的六边形，所以是六棱柱的表面展开平面图． 解 （1）12，六．（2）六棱柱． 说明 （1）我们知道四棱柱有8个顶点，五棱柱有10个顶点，六棱柱有四个顶点……，以此类推n棱柱有2×n个顶点．（2）观察棱柱的展开图，首先作为底面的多边形必须是相同的多边形，另外多边形的边数必须等于展开图中长方形的个数． 例2 分析 因为长方体相对两个面是相同的长方形，且相邻的两个面相交的边，长度相等．所以，（1）和（4）可以围成长方体． 解 见分析 说明：在研究长方体的展开图时，必须研究长方体本身的特征． 例3 分析 如图，这个长方体的上下两个面是长和宽分别是5cm和4cm的长方形，前后两个面是长和宽分别是5cm和3cm的长方形，左右两个面是长和宽分别是4cm和3cm的长方形，所以该长方体的展开平面图如下： 解 （如下图） 说明（1）这个长方体的展开图不是惟一的，真正做长方体盒时其展开图还要因用料的尺寸而定。（2）真正做盒时还应考虑到接口部分的用料。 例4 分析：此题实质就是在让我们分别找出长方体、圆锥体、圆柱体、六棱柱体的表面的平面展开图。 解 说明：半圆也是扇形的一种，所以有的圆锥的侧面展开图就是半圆。 例5 分析：这又是一例文字性题目，在题目中没有具体的一个正三棱锥，因此，需要同学们自己先画出这个立体图形，再想象一下它的展开图的形状． 解：设已知的正三棱锥如图所示，展开图如图所示． 说明：我们给出两种不同的展开图，目的在于让同学们体会因展开方式不同会有不同的结果，但是它们都可以还原为原立体图形． 例6 解：设原正三棱柱如图．它的展开图如图． 以上两种情况都符合条件． 说明：在此例中我们给出两种展开的方法，它还可以有不同的展开方式，让同学们自己动手试一试吧！ 例7 解：为了表述的方便，我们随机地把六个小正方形编上数码． （1）正方形2、3、4、6可折成一个无底的正方体，但正方形1、5重合，不能折成完整的正方体； （2）正方形1、5正好可折成正方体的两底，可以折成一个正方体； （3）正方形1、3可以折成正方体的两底，所以可以折成一个正方体； （4）正方形2、3在折的过程中重合，所以不能折成正方体； （5）正方形2、3或4、5在折的过程中重合，故不能折成正方体 说明：由一个正方体拆分成或展开成一个展开图时，因展开的方式不同，所以会有不同的展开图．这时由展开图还原为正方体时，就要考虑是否成立，此时，成立的条件是六个小正方形在折的过程中不能有重合部分即可． 1 / 6